Estructuras

Apuntes de Estructuras Algebraicas por Enrique Arrondo(*)




Versi´on del 17 de Mayo de 2011





1. Teor´ıa b´asica de grupos, anillos y cuerpos

2. Divisibilidad y factorizacion en anillos

3. Ra´ıces de polinomios

4. Extensiones de cuerpos

5. El grupo de Galois

6. Teoremas de Sylow

7. Resolubilidad de ecuaciones y de grupos

8. Constructibilidad con regla y comp´as

9.Extensiones transcendentes






















(*) Departamento de
A´ lgebra, Facultad de Ciencias Matem´aticas, Universidad Com-
plutense de Madrid, 28040 Madrid, arrondo@mat.ucm.es
1. Teor´ıa b´asica de grupos, anillos y cuerpos

Definicion. Un grupo es un conjunto G con una operaci´on interna · que verifica las si- guientes propiedades:
(i) g · (h · k) = (g · h) · k paracualesquiera a, b, c ∈ G (propiedad asociativa).
(ii) Existe 1 ∈ G (elemento neutro) tal que 1 · g = g · 1 = g para cualquier g ∈ G.
(iii) Para cada g ∈ G existe g−1 ∈ G (elemento inverso) tal que g · g−1 = g−1 · g = 1.
Si ademas
(iv) gh = hg para cualesquiera g, h ∈ G (propiedad conmutativa) entonces se dice que G
es un grupo abeliano.
Normalmente, se omite el signo · si ello no dalugar a confusi´on. Es tambi´en habitual
denotar a la operaci´on con + cuando el grupo es abeliano (como veremos, por ejemplo, en los anillos), en cuyo caso el elemento neutro se denota con 0 y el inverso de g con −g. El cardinal de un grupo se llama orden del grupo y se denota por |G|.

Ejemplo 1.1. El ejemplo de grupo que m´as usaremos es el del grupo de permuta- cionesde n elementos, denotado por Sn , y que consiste en el conjunto de biyecciones
σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n} con la composici´on (indicaremos simplemente στ para des-
ignar a la composici´on σ ◦ τ ). El orden de Sn es n!. Llamaremos r-ciclo a la permutaci´on,
que denotaremos por (i1 i2 . . . ir ) (con i1 , . . . , ir elementos distintos de {1, 2, . . . , n}) quemanda i1 a i2 , i2 a i3 ,..., ir−1 a ir , ir a i1 y deja fijos todos los dem´as elementos de
{1, 2, . . . , n}. Un 2-ciclo (i j) se llama transposici´on (ya que lo u´nico que hace es inter-
cambiar entre s´ı los nu´meros i y j). Dos ciclos (i1 i2 . . . ir ), (j1 j2 . . . js ) conmutan si y solo si {i1 , i2 , . . . , ir } ∩ {j1 , j2 , . . . , js } = ∅ (en cuyocaso se dice que son ciclos disjuntos).
Toda permutaci´on se puede poner de forma u´nica (salvo el orden) como producto de ciclos disjuntos dos a dos.

Definicion. Un subgrupo de un grupo G es un subconjunto H ⊂ G tal que, para cua- lesquiera g, h ∈ H se tiene que gh−1 ∈ H ; en otras palabras, H tiene estructura de grupo con la misma operaci´on que G. Para indicar que unsubconjunto H ⊂ G es un subgrupo,
escribiremos normalmente H < G.
Definicion. Dado un subconjunto cualquiera S ⊂ G, se llama subgrupo generado por el subconjunto S al m´ınimo subgrupo de G que contiene a los elementos de S, y lo denotaremos
normalmente por < S >. Si G =< g >, diremos que G es un grupo c´ıclico. En este caso, todos los elementos de G son de la forma gn , donde

gn = 
g .n.). gsi n ≥ 0
 (g−1 ) −. .n.) (g−1 ) si n ≤ 0
Ejercicio 1.2. Demostrar que cada uno de los siguientes conjuntos genera el grupo Sn : (i) Las transposiciones.
(ii) Las transposici´on (1 2) y el n-ciclo (1 2 . . . n).

(iii) Cualquier transposici´on y cualquier n-ciclo, si n es un nu´mero primo.

Dado un subgrupo H < G, se definen las relaciones de equivalencia:
g ∼H g0 ⇔ g−1 g0∈ H ⇔ gH = g0H
gH ∼ g0 ⇔ gg0−1 ∈ H ⇔ H g = H g0
(donde gH = {gh | h ∈ H } y H g = {hg | h ∈ H }). Los conjuntos de clases de equiva-
lencia estan en biyecci´on, y su cardinal comu´n se llama ´ındice de H en G, y se denota por
[G : H ].

Teorema de Lagrange. Si H es un subgrupo de un grupo finito, entonces se tiene la igualdad |G| = [G : H ]|H |. En particular, el orden de un...