Estudiante Universitario

Universidad de Chile
Facultad de Cs. F´sicas y Matem´ ticas
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a
Departamento de Ingenier´a Industrial
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IN44A: Investigaci´ n Operativa
o
Profs: R. Epstein, P. Rey
Aux: G. Cuevas, J.Gacitua, R. Szederkenyi

Resumen Procesos de Poisson
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1. Distribuciones Utiles.
X → Poisson (λ) ⇒ P [X = k] =

λk e−λ
k!

; k ∈ N ∪ {0}

X → exp (λ) ⇒ fX (x) = λe−λx ; x ≥ 0
X → Bin (n, p) ⇒P [X = k] =

n
k

pk (1 − p)n−k ; k ∈ N ∪ {0}
α α−1 −βx

e
X → Gamma (α, β) ⇒ fX (x) = β xΓ(α)
Donde Γ (α) = (α − 1)! cuando α ∈ N

X → U (a, b) ⇒ fX (x) =

1
b−a

;x>0

;a≤x≤b2. Ley de Probabilidades.
Si N (t ) es un PPH (Proceso de Piosson Homog´ neo) de tasa λ, entonces N (t ) tiene una distribuci´ n de Poisson de
e
o
par´ metro λ · t :
a
(λt )k e−λt
P [N (t ) = k]=
; k ∈ N ∪ {0}
k!
Ej: La llegada de autos a un estacionamiento se puede representar como un PPH de tasa λ
probabilidad de que en las primeras 10 horas lleguen 20 autos?
P [N (10) = 20] =autos
hora

. ¿Cu´ l es la
a

(10λ)20 e−10λ
20!

3. Incrementos Estacionarios.
La probabilidad de ocurrencia de eventos en un intervalo de tiempo depende s´ lo del tama˜ o del intervalo.
o
nEj. (continuaci´ n): ¿Cu´ l es la probabilidad de que lleguen 5 autos entre las 6 y las 8?
o
a
P [5 autos entre 6 y 8] = P [N (2) = 5] =

(2λ)5 e−2λ
5!

4. Incrementos Independientes.
Loseventos ocurridos en intervalos disjuntos de tiempo, son independientes entre s´.
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Ej. (continuaci´ n): ¿Cu´ l es la probabilidad de que lleguen 3 autos entre las 5 y las 6, dado que llegaron 2 autoso
a
entre las 3 y las 4?
P [3 autos entre 5 y 6/2 autos entre 3 y 4] = P [3 autos entre 5 y 6] = P [N (1) = 3] =

(1λ)3 e−1λ
3!

5. Tiempos Entre Eventos Consecutivos.
Si N (t ) es un PPHde tasa λ, entonces los tiempos entre eventos consecutivos se ditribuyen de forma exponencial
de par´ metro λ.
a
6. Tiempos de Ocurrencia del n-´ simo Evento.
e
El tiempo que demora en ocurrir...