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Soluciones en series de potencias

El Teorema Fundamental de existencia y unicidad de soluciones permite definir una funci´on x = x(t) como la u´nica soluci´on de un problema de valores iniciales. Un problema de valores iniciales en el punto t = t0 consiste en una ecuaci´on diferencial de orden n


dnx

( dx


dn−1x

dtn = f

junto con n condiciones de la format, x, , . . . ,
dt dtn−1


dx (1)


dn−1x


(n 1)

x(t0) = x0,

dt (t0) = x0 , . . . ,

dtn−1 (t0) = x0 .


Muchas de las llamadas funciones especiales, que aparecen en relaci´on con diversos problemas tanto de la matem´atica pura como de la matem´atica aplicada, surgen de forma natural en este contexto. Por ejemplo, las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite yde Legendre son soluciones de las respectivas ecuaciones:


ecuaci´on de Bessel: t2 d x + t dx + (t2


p2) x = 0,

dt2 dt −
d2x dx

ecuaci´on de Hermite:

dt2 − 2t dt + λ x = 0,

d2x dx
ecuaci´on de Legendre: (1 t2) 2t
dt2 dt


+ λ x = 0.


Tambi´en las funciones del c´alculo elemental se pueden caracterizar en t´erminos de ecua- ciones diferenciales. As´ı, lafunci´on exponencial x = et es la u´nica soluci´on del problema de valor inicial
dx
dt = x, x(0) = 1,
mientras que la funci´on x = sen t puede verse como la soluci´on del problema de valor inicial

d2x
dt2 + x = 0, x(0) = 0, x!(0) = 1.

Se deja al lector la tarea de encontrar un problema de valores iniciales que determina a la funci´on x = cos t.
Varias de las funciones especiales, entreellas las funciones de Bessel y los polinomios de Hermite y Legendre mencionados antes, se obtienen como soluciones de ecuaciones lineales homog´eneas de segundo orden

d2x dx
dt2 + a(t) dt + b(t) x = 0,

cuyos coeficientes a(t) y b(t) son funciones racionales de t, esto es, son cocientes de polinomios en t. En general no existen m´etodos que permitan calcular las soluciones de estasecuaciones




en t´erminos de funciones elementales. Si en un problema de inter´es pr´actico se requiere del estudio de una de estas funciones soluci´on es necesario recurrir a otras t´ecnicas.
El m´etodo de las soluciones en series, utilizado por Newton en sus Philosophia Natura- lis Principia Mathematica (1686), es uno de los m´etodos m´as antiguos de la teor´ıa de las ecuaciones diferenciales.Consiste en determinar los coeficientes c0, c1, c2 . . . de modo que la funci´on
∞
x(t) = c0 + c1 (t − t0) + c2 (t − t0)2 + • • • = � cn (t − t0)n (1)
n=0
sea soluci´on de una ecuaci´on dada, en un intervalo alrededor del punto t = t0.
Ejemplo 1. Consideremos el problema de valor inicial
dx
dt = x, x(0) = 1.
Si suponemos que la soluci´on buscada x = x(t) tiene una expansi´on en serie depotencias alrededor del punto t0 = 0, entonces
∞
x(t) = c0 + c1t + c2t2 + . . . = � cnt n, (2)
n=0
para ciertos coeficientes c0, c1, c2, . . .. Derivando t´ermino a t´ermino se obtiene la expansi´on para la derivada

dx 2
dt = c1 + 2c2t + 3c3t

∞
+ . . . = � n cn t
n=1


n−1.

Sustituyendo ahora en la ecuaci´on dx − x = 0 obtenemos
(c1 + 2c2t + 3c3t2 + • • •) − (c0 + c1t + c2t2+ . . .) = 0

Sumando t´erminos se concluye que
∞
(c1 − c0) + (2c2 − c1) t + (3c3 − c2) t2 + . . . = � ((n + 1) cn+1 − cn) tn = 0.
n=0
Teniendo en cuenta la unicidad de las expansiones en series de potencias, el coeficiente de cada t´ermino tn en la serie anterior debe ser igual a 0; por lo tanto para todo n = 0, 1, 2, . . . se sigue que
(n + 1) cn+1 − cn = 0,
de donde se tiene unarelaci´on de recurrencia para los coeficientes cn:
c = cn , n = 0, 1, 2, . . . .
n+1 n + 1

En consecuancia cn = cn 1

= cn−2

= • • • =

c0 . Reemplazando t = 0 en (2) se sigue que

n n(n−1) n!

x(0) = c0 de donde la condici´on inicial x(0) = 1 implica c0 = 1, de forma que cn = 1

para

n = 0, 1, 2, . . . y


t2 t3


∞ tn

x(t) = 1 + t +

+ + . . . = � ,...