estudiante

Interpolaciones
 y
 
Aproximaciones
 

Un
 poco
 de
 historia…
 
•  Formalmente,
 las
 interpolaciones
 fueron
 
propuestas
 por
 los
 astrónomos
 para
 
“predecir”
 o
 ubicar
 los
 cuerpos
 celestes
 en
 el
 
espacio.
 

Definición
 
Un
 polinomio
 de
 grado
 n
 es
 una
 expresión
 de la
 forma:
 
P(x)
 =
 anxn
 +
 an-­‐1xn-­‐1
 +
 ...
 +a1x
 +
 a0
 
Donde
 
 an
 
 0
 

Teorema
 (teorema
 de
 aproximación
 de
 Weierstrass)
 
Suponga
 que
 f
 está
 definida
 y
 es
 conQnua
 en
 [a,
 b].
 Para
 ε
 >
 0
 existe
 un
 polinomio
 P
 
definido
 en [a,
 b],
 con
 la
 propiedad
 de
 que
 
 
|f(x)
 –
 P(x)|
 <
 ε,
 para
 toda
 x
 en
 [a,
 b]
 

Desarrollo
 en
 series
 de
 Taylor
 
Sea
 f(x)
 =
 ex
 
Desarrollando
 en
 serie
 de
 Taylor
 alrededor
 de
 x
 =
 0
 

P0(x)
 =
 1
 
 
 P1(x)
 =
 1
 + x
 
 
 


 P2(x)
 =
 1
 +
 x
 +
 x2/2
 

P3(x)
 =
 1
 +
 x
 +
 x2/2
 +
 x3/6
 
 P4(x)
 =
 1
 +
 x
 +
 x2/2
 +
 x3/6
 +
 x4/24
 
P5(x)
 =
 1
 +
 x
 +
 x2/2
 +
 x3/6
 +
 x4/24
 +
 x5/120
 

x
 
Valores
 de
 e
Valores
 de
 las aproximaciones
 de
 ex
 con
 polinomios
 de
 Taylor
 

Expansión
 de
 Taylor
 para
 1/x
 

Interpolación
 polinomial
 de
 Newton
 
Revisaremos
 solo
 algunos
 casos:
 lineal,
 de
 segundo
 grado
 y
 de
 tercer
 grado.
 

Interpolación
 lineal
 
UQlizando
 triángulos
 semejantes
 
f(x)
 Reordenando
 
f(x1)
 
f1(x)
 
f(x0)
 
x0
 

x
 

x1
 

Ejemplo
 
EsQmar
 ln
 2
 mediante
 interpolación
 lineal
 si
 ln1
 =
 0
 y
 ln
 6
 =
 1.791759
 y
 ln
 4
 =
 1.386294
 

Valor
 real
 ln
 2
 =
 0.6931472
 
Error
 relaQvo
 porcentual
 =
 33.3%
 
f(x)
 =
 ln x
 

Valor
 verdadero
 
f1(x)
 

EsQmaciones
 lineales
 

Interpolación
 cuadráQca
 
Polinomio
 cuadráQco
 

 


 

f2(x)
 =
 b0
 +
 b1(x
 –
 x0)
 +
 b2(x
 –
 x0)(x
 –
 x1)
  (1)
 

simplificado
 

 

f2(x)
 =
 b0
 +
 b1x
 –
 b1x0
 +
 b2x2
 +
 b2x0
 x1
 – b2xx0
 –
 b2xx1
 

Podemos
 escribirlo
 como
 

 

f2(x)
 =
 a0
 +
 a1x
 +
 a2x2
 

Donde
 

 


 a0
 =
 b0
 –
 b1x0
 +
 b2x0
 x1,
 a1
 =
 b1
 –
 b2x0
 –
 b2x1,
 a2=b2
 
 

Podemos
 evaluar
 b0,
 b1
 y
 b2
 susQtuyendo
 x0,
 x1
 y
 x2
 en
 la ecuación
 (1),
 se
 obQene
 

 


 b0
 =
 f(x0)
 
 

f ( x1 ) − f ( x 0 )
b1 =
x1 − x 0

f ( x 2 ) − f ( x1 ) f ( x1 ) − f ( x 0 )
−
x 2 − x1
x1 − x 0
b2 =
x2 − x0

ejemplo
 2
 
Calculemos
 ln
 2
 con
 ln
 4
 y
 ln
 6,
 los
 punto
 que
 se
 conocen
 son:
 
x0
 =
 1
 
 
x1
 =
 4
 
 f(x0)
 =
 1.386294
 

x0
 =
 6
 
 

f(x)
 =
 ln
 x
 

f(x0)
 =
 0
 
f(x0)
 =
 1.791759
 

Aplicando
 las
 ecs.
 anteriores
 

Valor
 verdadero
 

b0
 =
 0
 
b1
 =
 (1.386294
 –
 0)/(4
 –
 1)
 =
 0.4620981
 
b2
 =
 ((1.791759
 –
 1.386294)
 

 
 ...