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COORDENADAS POLARES
En el sistema de coordenadas polres, un punto se localiza especificamente su posicion relativa con respecto a una rexta fija y a un punto fijo de esta recta. La recta dija se llama eje polar;el punto fijo se llama polo. Sea P un punto cualquiera en el plano coordenado(figura 1). Tracemos segmento OP y designamos su lñonggitud por r. Llamamos θ al angulo dirigido desde el ejepolar al radio vector OP .


Evidentemente, la posición del punto P con la relación al eje polar y al polo esta determinada cuando se conoce r y θ. Estas dos cantidades se llaman las coordenadas polares del ponto P;en particular, r se llama radio vector y θ ángulo polar.
Las coordenadas polares de P se escriben (r, θ). El ángulo polar θ se mide como en trigonometría condiderando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del angulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector, se considera positivo cuando se mide en sentido antihorario y negativo cuando se mide en sentidohorario.

En ángulo asociado con un punto dado no es único, por ejemplo el punto a dos unidades del origen a lo largo del rayo θ = π6, tiene coordenadas polares (2 , π6 ); este punto tambien tiene las coordenadas (2 , - 11π6) (figura 2).

Hay ocasiones que r es negativo, esto es porque usamos distancias dirigidas al definir P (r, θ). Si un punto tiene un radio vector negativo, se mide primero elángulo polar de la manera ordinaria, y después se toma el radio vector en la prolongación del lado final.
Así el punto (2 , π6 )es obtenido girando π6 en sentido antihorario el eje polar y avanzando 2 unidades en la prolongacion del lado final. (figura 3)
Este punto tambien puede ser obtenido girando 7π6 radianes en sentido antihorario el eje polar y avanzando 2 unidades desde el origen O, elpunto tambien tendría las coordenadas polares (2, 7π6) .

Ejemplo:Encontrar todas las coordenadas polare del punto P(2, π6 )
Solución:
Dibujamos el eje polar del sistema de coordenadas, trazamos el radio vector desde el origen que hace un angúlo de π6 radianes con el eje polar y marcamos el punto (2, π6 )(figura 4).
Encontramos los ángulos para los otros pare de coordenadas de P en loscuales r= 2 y r= -2.

Para r= 2, los ángulos son π6 , π6 ± 2π, π6 ± 4π, π6 ±6π,………..
Para r= -2, los ángulos son: - 5π6, - 5π6 ±2π, - 5π6 ±4π, - 5π6 ± 6π,………..
Los correspondientes pares de coordenadas de P son: (2, π6 +2kπ) k= 0, ±1, ±2,………y
-2, - 5π6 +2kπ) k=0, ±1, ±2,……; cuando k=0, las formas dan (2, π6) y (-2, 5π6). Cuando k= 7, nos dan (2, 13π6) y (-2, 7π6).
Grafica deecuaciones Polares:
Si r toma un valor constante r= a ≠ 0, el punto P(r, θ) estar a a unidades del origen O. Cuando θ varia sobre un intervalo de longitud 2π, P entonces genera un circulo de radio a centrado en O (figura 5).

Si θ toma un valor constante θ= θ0 y r varia entre -∞ y ∞. El punto P(r, θ) genera una línea que pasa por O y hace un ángulo de medida θ0 con el eje polar.
Ecuación | Gráfico |r = a | Circulo de radio a centrado en O |
θ= θ0 | Línea que pasa por O y hace un ángulo θ0 con el eje polar |

Ejemplo: Graficar los conjuntos de puntos cuyas coordenadas polares verifican las siguientes condiciones.
a)1≤ r ≤ 2 y 0 ≤ θ≤ π2 c) -3 ≤ r ≤ 2 y θ = π4

b) r ≤ 0 y ≤ θ ≤ π4 d) 2π3 ≤ θ ≤5π6 (r sin restricciones)


Relación entre coordenadas polares y cartesianas
Los dos sistemas se relacionan por las siguientes ecuaciones
X = r cos θ , y r sen θ , x2 + y2 = r2
Las dos primeras de esas ecuaciones determinan las coordinadas cartesianas x e y dadas las coordinadas polares r y θ. De otra forma, si x e y son dados, la tercera ecuaciones da...