Estudiante

UNIDAD 11 Combinatoria
2. Amplía: factoriales
y números combinatorios

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FACTORIALES
El número de permutaciones de n elementos es:
Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 3 · 2 · 1
A este producto de n factores decrecientes a partir de n se le designa por n! que se lee “factorial de n” o
“n factorial”.
Por ejemplo, 2! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24
Elvalor de n! crece enormemente deprisa al aumentar n. Por ejemplo:
10! = 3 628 000
20! tiene 18 cifras
La fórmula de las variaciones se puede expresar muy cómodamente con factoriales:
Vm, n = m · (m – 1) · … · (m – n + 1) = (1)
= [m · (m – 1) · … · (m – n + 1)] · [(m – n) · … · 3 · 2 · 1] = m!
(m – n) · … · 3 · 2 · 1
(m – n)!
(1) Hemos multiplicado numerador y denominador por (m – n)! paraconseguir en el numerador m!.
Por ejemplo: V7, 3 = 7 · 6 · 5 = 7 · 6 · 5 · (4 · 3 · 2 · 1) = 7!
4·3·2·1
4!

NÚMEROS

COMBINATORIOS

Los números que se obtienen al aplicar la fórmula de las combinaciones, Cm, n , se llaman números combinatorios y se suelen designar así: m . Se lee m sobre n.
n

( )

Por ejemplo:

( )

7 = C = V7, 3 = 7 · 6 · 5 = 35
7, 3
3
3·2·1
P3

Los númeroscombinatorios pueden expresarse, también, con factoriales:
m = Vm, n = m! / (m – n)! =
m!
n
n!
n! (m – n)!
Pn

( )

Por ejemplo:

( )

7 = V7, 3 = 7! / 4! = 7!
3
P3
3! · 4!
P3

Los factoriales son muy cómodos para manejar expresiones teóricas. Pero para cálculos numéricos son preferibles las fórmulas sin ellos.

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y númeroscombinatorios

PROPIEDADES

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DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS

Los números combinatorios tienen interesantes propiedades. Vamos a ver algunas:
I.

( ) ( )
( )

m
m
= 1,
=1
0
m
m
0

significa el número de combinaciones con ningún elemento que se pueden hacer con m elementos.

Solo el conjunto vacío tiene “ningún elemento”. Es decir, solo hay una.

( )

m
es elnúmero de combinaciones que se pueden hacer con todos los elementos. Es claro que solo hay una.
m

() ()
( )( )

Por ejemplo: 7 = 1, 7 = 1
0
7

II.

m
m
=
n
m–n

Pues, si disponemos de m elementos, cada vez que escogemos n nos quedan m – n.

Es decir, cada vez que formamos una combinación de n elementos, nos queda otra de m – n.

() ()( ) ( )
)( )( )
() () ()() () ()( ) ( ) ( )Por ejemplo: 7 = 7 , 100 = 100
3
4
99
1
III.

(

m–1
m–1
m
+
=
n–1
n
n

Por ejemplo: 4 + 4 = 5 , 7 + 7 = 8 , 11 + 11 = 12
2
3
3
5
6
6
7
8
8
La justificación de esta propiedad es más complicada que la de las anteriores; por eso la demostramos con
una historieta.

()()()

Empecemos probando que: 6 + 6 = 7
3
4
4
Leticia y Héctor son una pareja de recién casados.Tienen 7 objetos de adorno y una vitrina donde caben 4
de ellos.

()

7
4
Pero en el momento de hacer la elección surge una pequeña diferencia de criterio: Leticia exige que uno de
los objetos sea el retrato de su madre, mientras que Héctor rechaza esta posibilidad.
El número de posibles elecciones es:

• ¿Cuántas son las posibilidades que admite Leticia? Tantas como formas deseleccionar los 3 objetos que
acompañarán al retrato de su madre, es decir: 6
3

()

• ¿Cuántas son las posibilidades que admite Héctor? Tantas como formas de seleccionar 4 objetos de entre
los 6 que no son el retrato de su suegra, es decir: 6
4

()

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Pero fíjate que, necesariamente, si seleccionan 4objetos, uno de los dos se saldrá con la suya. Es decir, que
cualquier posible selección o es de las que quiere Leticia, o es de las que quiere Héctor. Por tanto:

()()()

6 + 6 = 7
3
4
4
Si en lugar de 7 objetos tuvieran m, y en la vitrina en vez de 4 cupiesen n, el mismo razonamiento nos llevaría a la demostración de la fórmula.
TRIÁNGULO

DE TARTAGLIA

Tartaglia (se lee Tartalla)...