Estudiante

Trabajo 1 de E.d.o.
(Grupo Minas 1)

1)Pruebe que la función dada es solución
de la e.d.o. dada.
 A)

𝑦=

1
2

𝑠𝑒𝑛𝑥 −

1
2

cos 𝑥 + 10𝑒 𝑥 de: 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥

 B) 𝑦 = 𝑒 3𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥de: 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 13𝑦 = 0
 C) 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑐 2 de:
 D)𝑦2 = 𝑥 3 e

𝑦 = 𝑥 𝑦 ′ + (𝑦 ′ )2

𝑦2 = 𝑥 3 de: 𝑥 2 𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦 ′ + 6𝑦 = 0
¿Las siguientes combinaciones lineales:
𝑐1 𝑦1 ; 𝑐2 𝑦2 ; 𝑦1 + 𝑦2 sonsoluciones de la e.d.o.

1)Pruebe que la función dada es solución
de la e.d.o. dada.
 E)
 F)

𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦) de: 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑦′ 1 − 𝑥 2 𝑦 2

𝑦= 𝑔 𝑥 = 𝑒

 G) 𝐽0

𝑡 =

𝑥2

𝑥
0

−𝑡2
𝑒

𝑑𝑡 + 𝑒

𝑥2

2 2𝜋
cos 𝑡𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 de:
𝜋 0
𝐽0 ′(𝑡)
′′
𝐽0 𝑡 + 𝑡 + 𝐽0

de: 𝑦 ′ −2𝑥𝑦 = 1

𝑡 =0

2) Determinar:
 𝑚 tal que 𝑦 = 𝑥 𝑚 sea solución de la e.d.o.

𝑥 2 𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦 ′ + 6𝑦 =0

1) a) Solución:
 A)

𝑦=

1
2

𝑠𝑒𝑛𝑥 −

1
2

cos 𝑥 + 10𝑒 𝑥 de: 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
1

1

Tenemos que: 𝑦 ′ = cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 10𝑒 −𝑥
2
2
′
Reemplazando 𝑦 en nuestro 𝑦 tenemos que:1
1
1
1
−𝑥
cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 10𝑒 +
𝑠𝑒𝑛𝑥 − cos 𝑥 + 10𝑒 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
2
2
2
2
1

1

=> 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥
=> 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≡ 𝑠𝑒𝑛𝑥

∴

𝑦 es solucion de la e.d.o.

1)b) solución:
 𝑦 = 𝑒 3𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 de 𝑦 ′′ − 6𝑦 ′ + 13𝑦 = 0
tenemos que:

𝑦 ` = 3𝑒 3𝑥 cosx − 𝑒 3𝑥 senx
𝑦 `` = 9𝑒 3𝑥 cosx − 3𝑒 3𝑥 senx − 3𝑒 3𝑥 senx − 𝑒 3𝑥 cosx
𝑦 `` = 8𝑒 3𝑥 cosx − 6𝑒 3𝑥 senx
=> 8𝑒 3𝑥 cosx − 6𝑒 3𝑥 senx − 18𝑒 3𝑥cosx + 6𝑒 3𝑥 senx + 13𝑒 3𝑥 cosx
=> 21 𝑒 3𝑥 cosx − 18𝑒 3𝑥 cosx = 0
=> 3𝑒 3𝑥 cosx = 0

∴ 𝑦 no es solución

1)c) Solución:
 𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑐 2 de

𝑦 = 𝑥 𝑦 ′ + (𝑦 ′ )2

𝑦′ = 𝑐
=> 𝑐𝑥 + 𝑐 2 = 𝑥𝑐 + 𝑐2

∴

𝑦 si es solución.

1)d) Solución
 𝑦1 = 𝑥 2 de

∴

𝑥 2 𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦 ′ + 6𝑦 = 0

𝑦 ′ = 2𝑥
𝑦 ′′ = 2
=> 2𝑥 2 − 8𝑥 2 + 6𝑥 2 = 0
=> 0 ≡ 0

𝑦 es solución.

1)d)Solución
 𝑦2 = 𝑥 3de:

𝑥 2 𝑦 ′′ − 4𝑥𝑦 ′ + 6𝑦 = 0

𝑦 ′ = 3𝑥 2
𝑦 ′′ = 6𝑥
=> 𝑥 2 6𝑥 − 4𝑥3𝑥 2 + 6𝑥 3 = 0
=> 6𝑥 3 − 12𝑥 3 + 6𝑥 3 = 0
=> 0 ≡ 0

∴

𝑦 es solución

1)d) Solución:
 ¿Las siguientes...