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Teorema del seno y coseno

PROBLEMA 1.- Deducir la ley de los senos.
Solución: Consideremos el triángulo de la figura 14-20. Dibujando la perpendicular (llamémosla H) desde el vértice del ángulo d al lado que une los vértices a y b, formamos dos triángulos rectángulos. Vemos que sen a = H/ B, o sea que H = B sen a y sen b = H/ A, es decir, H = A sen b. Igualando las dos expresiones de H,tendremos que B sen a = A sen b, o sea que (sen a)/ A = (sen b)/ B. De la misma manera podemos demostrar que (sen d)/D = (sen a)/ A.







D


Figura 14-20 Figura 14-21
PROBLEMA 2.- DEDUCIR LA LEY DE LOS COSENOS.
Solución: Veamos el triángulo de la figura 14-21. Trazando la perpendicular (llamémosla H) desde el vérticedel ángulo d hasta la recta que une los vértices a y b, formamos dos triángulos rectángulos. De nuevo, (sen a) = H/B, es decir, H2 = B2sen2a. Por la identidad sen2 a + cos2 a = 1, tendremos que H2 = B2(1 — cos2 a). Del triángulo rectángulo cdb, tenemos que H2 = A2 — (D — B cos a)2. Igualando los dos lados derechos de las expresiones anteriores, tendremos y,
A2 - (D – B cos a)2 = B2 (1 - cos2a)
A2 - D2 4- 2BD cos a - B2cos2 a = B2 - B2cos2 a

Simplificando esta expresión,
A2 = B2 + D2 – 2 BD cos a
Que es una de las formas de la ley de los cosenos.

LA LEY DE LOS SENOS SE APLICA:
Dados un lado y dos ángulos.
Dados un ángulo, el lado opuesto y cualquiera de los otros dos lados.

A = B = D =
Sena Senb Send

LA LEY DE LOSCOSENOS SE APLICA:
Dados dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.
Conocidos los tres lados







PROBLEMA 3.- Un árbol crece en el punto medio de una autopista recta. Desde un borde de ésta, el ángulo de elevación de la copa del árbol es de 10° y desde el otro borde es de 8o. La autopista tiene 300 metros de ancho, ¿cuál es la altura del árbol y a qué distancia está de losbordes de la calzada?


Solución: Dibujamos un diagrama que ilustre la situación. Hacemos que x sea el lado del triángulo opuesto al ángulo de 10° (ver figura 14-22). El tercer ángulo es (180 - 10 - 8)° = 162° Entonces, por la ley de los senos, Sea d la distancia del borde de la vía donde está el ángulo de 8º a la copa del árbol. Luego d=168,6 = cos 8º, es decir, d = 168,6 cos 8º = 166,9m cuando h es la altura del árbol. Por el mismo triángulo rectángulo, h/ 168,6 = sen 8º, luego la altura del árbol es h = 168,6 sen 8º = 23,5 m. La distancia del árbol al otro borde es 300— 166,9 = 133,1 metros.





Figura 14-22
PROBLEMA 4.- El asta de una bandera está colocada verticalmente en el tope de un edificio. Una persona está ubicada a 400pies de la base del edificio. Desde su punto de vista, el ángulo de elevación a la base del asta es de 60° y al extremo de la misma es de 62,5º. Calcular la altura del asta.

Solución: Construimos un diagrama de la situación (ver figura 14-23). Sea h la altura del asta y b la altura del edificio. Podemos ver que tan 60° = b/400 y tan 62,5° = (b + h)/400. Por la primera ecuación, b = 400 tan60° = 692,8 pies. Por la segunda ecuación 692,8 + h = 400 tan 62,5° o 692,8 + 768,4 y h = 75,6 pies. Hubiéramos podido resolver el problema sin necesidad de aplicar la ley de los senos o la de los cosenos.














PROBLEMA 5.- Una valla forma un ángulo de 80° con el piso y está sostenida poruna viga de 15 metros de longitud. La viga va desde el borde de la valla hasta el piso formando un ángulo de 53° con éste. Calcular la distancia que hay entre la base de la valla y la base de la viga.

Solución: Debemos obtener x en el triángulo de la figura 14-25. Como la suma de los ángulos del triángulo es de 180°, el tercer ángulo será (180 - 80 - 53)° = 47°. Por la ley de los senos,...