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Distribución normal

Importancia de la distribución normal

La distribución normal es de suma importancia en estadística por tres razones principales:
Numerosas variables continuas de fenómenos aleatorios tienden a comportarse probabilísticamente mediante ésta.
Es el límite al que convergen tanto variables aleatorias continuas como discretas.
Proporciona la base de la inferenciaestadística clásica debido a su relación con el teorema del límite central.

Propiedades de la distribución normal

Su grafica tiene forma acampanada.
El valor esperado, la mediana y la moda tienen el mismo valor cuando la variable aleatoria se distribuye normalmente.
Su dispersión media es igual a 1.33 desviaciones estándar. Es decir, el alcance intercuartil está contenido dentro de un intervalo dedos tercios de una desviación estándar por debajo de la media a dos tercios de una desviación estándar por encima de la media.
En la práctica, algunas de las variables que observamos sólo pueden aproximar estas propiedades. Así que si el fenómeno puede mediarse aproximadamente mediante la distribución normal se tendrá:
Que el polígono puede verse en forma de campana y simétrico.
Sus mediciones detendencia central tienen bastante parecido.
El valor intercuartil puede diferir ligeramente de 1.33 desviaciones estándar.
El dominio de la variable aleatoria normalmente distribuida generalmente caerá dentro de 3 desviaciones estándar por encima y por debajo de la media.

El modelo matemático

 

El modelo o expresión matemática que representa una función de densidad de probabilidad sedenota mediante el símbolo . Para la distribución normal, se tiene la siguiente función de probabilidad.

Donde:
 es la constante matemática aproximada por 2.71828
 es la constante matemática aproximada por 3.14159
Parámetros
 es cualquier valor de la variable aleatoria continua, donde 
Así,

A continuación se presentan las gráficas de las funciones de densidad Normal con el objetivo deobservar cambios en la distribución de probabilidad:
caso 1:
Cuando se mantiene la misma media, pero cambia la varianza.

Ejemplo: 

caso 2:

Cuando se mantiene la misma varianza, pero cambia la media.
Ejemplo: ( y )

Ahora, al examinar la primera y segunda derivada de , se pueden listar otras propiedades de la curva normal:
La moda, que es el punto sobre el eje horizontal donde la curvaes un máximo ocurre cuando .
La curva es simétrica alrededor de un eje vertical a través del valor esperado .
La curva tiene sus puntos de inflexión en , es cóncava hacia abajo si , y es cóncava hacia arriba en cualquier otro punto.
La curva normal se aproxima al eje horizontal de manera asintótica conforme nos alejamos de la media en cualquier dirección.
Haciendo una transformación a lavariable aleatoria normal , ésta se puede llevar a un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal  con media cero y varianza 1. A dicha transformación se le conoce como estadarización de la variable aleatoria normal :

Definición

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria normal con media cero y varianza 1 se llama distribución normal estándar.
Función deDensidad
Normal (0,1)

En la distribución normal estándar se sabe que las áreas se distribuyen de la siguiente manera:
Función de Densidad
Normal (0,1)

Manejo de tablas

La tabla anexa representa las probabilidades o áreas bajo la curva normal calculadas hasta los valores partículares de interés  (Transformados). Al observar la tabla se observa que todos los valores  deben registrarseprimero con hasta dos lugares decimales. Por ejemplo, para leer el área de probabilidad bajo la curva hasta , podemos recorrer hacia abajo la columna Z de la tabla hasta que ubiquemos el valor de interés  (en décimas). Así pues, nos detenemos en la fila . A continuación, leemos esta fila hasta que intersecamos la columna que contiene el lugar de centésimas del valor  (). Por tanto, en el cuerpo de la...