Estudiante
Colectivo de Profesores de C´lculo I. a Febrero 15 de 2013.
Recuerde que: Si f : A −→ B es una funci´n, entonces el dominio y el rango de f se definen como o Df := {x ∈ R; y Rf := {y ∈ R; y = f (x) para alg´ n x ∈ Df } u (2) f, est´ definida. } a (1)
Ejemplo 1 Determine el dominio y el rango de la funci´n f (x) =o
x−1 . |x| + 1
Soluci´n. Primero que todo debe observarse que la expresi´n que define la funci´n f involucra un valor absoluto y por lo tanto es o o o de esperarse que dicha expresi´n cambie dependiendo del signo de la variable x. Para determinar la “forma” definitiva que tiene o la funci´n f veamos que o x + 1 si x ≥ 0 si x < 0. si x ≥ 0 si x < 0.
|x| + 1 = Por lo tanto f (x) =
x −1 x + 1
−x + 1
x−1 −x + 1 Ahora observe que si x < 0, entonces f (x) =
x−1 x−1 = = −1 y en consecuencia tenemos que: −x + 1 −(x − 1) x − 1 x + 1 −1 si x ≥ 0 si x < 0.
f (x) =
Ahora, para encontrar el dominio de la funci´n, debemos determinar aquellos puntos x en los cuales la expresi´n que define a f o o x−1 no est´ definido es x = −1 es decir a x+1x−1 para un valor negativo de x y f (x) = siempre que x ≥ 0, por lo anterior, Df = R. x+1 carece de sentido. Pero si observamos con atenci´n, el unico valor de x para el cual o ´
Para el rango, observe que si x < 0, entonces el unico valor de la funci´n f es -1, mientras que si x ≥ 0 f puede escribirse como ´ o f (x) = x−1 x 1 = − . x+1 x+1 x+1 x < 1 y adem´s le restamos la a x+1
Si evaluamosen unos cuantos valores de x, observamos que f (x) ≤ 1 (de hecho observe que cantidad positiva 1 ). x+1
entonces neceariamente tendr´ ıamos f (x0 ) =
¿Podr´ f alcanzar el valor 1?, esto es, existir´ un x0 ∈ R tal que f (x0 ) = 1?. Veamos, si existiese un tal x0 con esa propiedad, a a x0 − 1 = 1 lo cual implica que x0 − 1 = x0 + 1 es decir − 1 = 1. x0 + 1
Esta contradicci´n nos lleva aconcluir que f (x) nunca alcanza el valor de 1 y por lo tanto Rf = [−1, 1) o Ejercicio 1 Determine el dominio de las siguientes funciones √
1. f (x) =
2x2 − 5x + 3. x2 − x − 12 x2 + 5x + 4
2. h(x) =
Ejercicio 2 Determine el rango de las siguientes funciones 1. f (x) = −x2 + 6x − 5. (Sugerencia: Complete cuadrados.) 2. g(x) = 3 + |x − 2|. Ejercicio 3 Si f (x) = x2 + x − 2. Calcular f (−x) y−f (x). Es impar la funci´n f ? o
Ejercicio 4 A continuaci´n se dan las gr´ficas de las funciones f (x) y g(x). o a
(−3, 3)
f (x)
2
(2, 4) g(x)
1. Determine el rango y el dominio de las funciones f y g. 2. Halle f (−2), f (−1), g(0), g(2) y g(3). 3. ¿ -2 pertenece al rango de f ?. Si es as´ encuentre la o las preimagenes de -2. ı, 4. Halle los valores de x para los cuales f (x)≥ 1. 5. Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de g(x).
Ejercicio 5
segmentos de recta con pendiente −1 si x < 0, pendiente 0 en [0, 2] y pendiente 1 si x > 2. 1. Dibuje la gr´fica de la funci´n f (x). a o 2. Encuentre el valor de f (−9), f (1/2) y f (100). 3. En que intervalos crece f ? 4. Diga si la funci´n f es inyectiva ´ no. Justifique. o o
Una funci´n f : R −→ R tomalos valores f (−1) = 2, f (0) = 1 = f (2) y f (3) = 4. Su grafica est´ formada por o a
Ejercicio 6
Encuentre una expresi´n que defina la funci´n f cuya gr´fica que se d´ a continuai´n o o a a o
Modelamiento por medio funciones.
Ejemplo 2 Se va a cercar un lote rectangular tres de sus lados. Si el ´rea del lote es de 30 metros cuadrados, exprese la longitud a de la cerca como una funci´nde la longitud del lado no cercado. o
Soluci´n. Primero que todo, debemos introducir variables para denotar las dimensiones del terreno. Denotemos por x el lado que o no va a ser cercado y por la letra y la altura del mismo como indica la figura
3
y x
En este caso, la longitud de la cerca viene dada por la expresi´n L = x + 2y. Ahora, es claro que L depende de la longitud o de...
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