Estudio de la ignorancia

Cap´ ıtulo 1

Espacios vectoriales
En diversos conjuntos conocidos, por ejemplo los de vectores en el plano o en el espacio (R2 y R3 ), o tambi´n el de los polinomios (R[X]), sabemos sumar sus elementos y multiplicarlos e por n´meros. Todos estos conjuntos comparten una cierta “estructura”, que est´ dada u a por esa suma y ese producto, a la que llamaremos espacio vectorial. En este cap´ ıtulopresentaremos la noci´n de espacio vectorial y estudiaremos algunas propiedades b´sicas o a que poseen los conjuntos con dicha estructura.

1.1
1.1.1

Espacios vectoriales y subespacios
Preliminares

La noci´n de espacio vectorial requiere de dos conjuntos: un conjunto K (los escalares) y o otro conjunto V (los vectores). Estos dos conjuntos deben satisfacer ciertas propiedades, queesencialmente se refieren a que los elementos de V se puedan sumar entre s´ y multiı plicar por elementos de K. Comenzaremos dando algunas definiciones previas para poder despu´s presentar la definie ci´n precisa de espacio vectorial. o Definici´n 1.1 Sea A un conjunto no vac´ Una operaci´n (o ley de composici´n interna o ıo. o o u operaci´n binaria) de A es una funci´n ∗ : A × A → A. o o Notaci´n. ∗(a, b)= c se escribe a ∗ b = c. o Ejemplos. • + : N × N → N, tal que +(a, b) = a + b, es una operaci´n de N. o o • Como la resta, −(a, b) = a − b, no es una funci´n de N × N en N, entonces no es una operaci´n de N. o • La suma +, el producto · y la resta − son operaciones de Z, Q, R y C. No nos interesaremos por operaciones cualesquiera, sino que trabajaremos con operaciones que posean algunaspropiedades. Entre las propiedades que analizaremos se encuentran las siguientes: 1

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´ ALGEBRA LINEAL - G. Jeronimo, J. Sabia, S. Tesauri

Definici´n 1.2 (Propiedades b´sicas) Sea ∗ : A × A → A una operaci´n. o a o i) ∗ se dice asociativa si (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) ∀ a, b, c ∈ A. ii) Se dice que ∗ tiene elemento neutro si ∃ e ∈ A tal que e ∗ a = a ∗ e = a para cada a ∈ A. iii) Si ∗ tieneelemento neutro e, se dice que todo elemento tiene inverso para ∗ si ∀ a ∈ A, ∃ a ∈ A tal que a ∗ a = a ∗ a = e. iv) ∗ se dice conmutativa si a ∗ b = b ∗ a ∀ a, b ∈ A. Se pueden estudiar las caracter´ ısticas que comparten los conjuntos con una operaci´n que o satisface algunas de estas propiedades. Una noci´n util es la de grupo, que definimos a o ´ continuaci´n. o Definici´n 1.3 Sea A un conjunto, y sea∗ una operaci´n en A que satisface las propieo o dades i), ii) y iii) de la definici´n anterior. Entonces (A, ∗) se llama un grupo. Si adem´s o a ∗ cumple iv), se dice que (A, ∗) es un grupo abeliano o conmutativo. Ejemplos. • (N, +) no es un grupo: se puede probar que no tiene elemento neutro. • (Z, +), (Q, +), (R, +) y (C, +) son grupos abelianos. • (Z, ·) no es un grupo: se puede probar ques´lo 1 y -1 tienen inverso multiplicativo. o • (Q − {0}, ·), (R − {0}, ·) y (C − {0}, ·) son grupos abelianos. o • A = {f : R → R}, ∗ = ◦ (composici´n de funciones). Entonces (A, ∗) no es un grupo: las unicas funciones con inversa para ◦ son las biyectivas. ´ • SR = {f : R → R / f es biyectiva }, ∗ = ◦. Entonces (SR , ◦) es un grupo. • C un conjunto, P(C) = {S ⊆ C}. Se define la operaci´n o llamadadiferencia sim´trica, de la siguiente forma: e A B = (A ∪ B) − (A ∩ B). Entonces (P(C), ) es un grupo abeliano. : P(C) × P(C) → P(C),

A partir de la definici´n de grupo pueden probarse propiedades que poseen todos los o conjuntos con esa estructura. Por ejemplo: • Sea (G, ∗) un grupo. Entonces existe un unico elemento neutro para ∗. ´ Supongamos que hay dos: e y e . Entonces e ∗ a = a ∗ e = a ∀a ∈G ⇒ e ∗ e = e ∗ e = e e ∗ a = a ∗ e = a ∀a ∈ G ⇒ e ∗ e = e ∗ e = e Luego, e = e .

Departamento de Matem´tica - FCEyN - Universidad de Buenos Aires a • Sea (G, ∗) un grupo. Entonces para cada a ∈ G existe un unico inverso para a. ´

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Sea e el elemento neutro de (G, ∗). Supongamos que b y c son inversos de a. Entonces b = e ∗ b = (c ∗ a) ∗ b = c ∗ (a ∗ b) = c ∗ e = c. Notaci´n. Si G es...