ESTUDIO DE LAS FUNCIONES REALE03

Determinar el rango de las siguientes funciones

1.

2.

3.

4.

5.

6.


7.


8.

9.

10.


11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.


Función Inversa
Si la función f : A B es biyectiva, entonces existe la función g : B A la cual es la función inversa de f y se denota por f -1 (x).
Cálculo de la función inversa
Procedimiento:
De no decir que la función es biyectiva sesupone
En la función dada se hace un cambio de variables, “x” por “y” e “y” por “x”
Se despeja la variable “y”
Se denota y = f -1 (x) según lo obtenido
Ejercicios resueltos de la función inversa
1. Sea la función y = 3x+5, hallar la función inversa.
Solución:
y = 3x + 5
se intercambian las variables x = 3y + 5
se despeja la variable y x – 5 = 3y y =
luego la función inversa de y = 3x + 5es f -1 (x) =
2. Sea la función y = 10 , determinar la función inversa
Solución
y = 10
se intercambian las variables x = 10
se aplica logaritmo de base 10 en ambos miembros log x = log10
resolviendo log x = log 10 log x =
se despeja la variable y y =
luego la función inversa es f -1 (x) =
3. Sea la función y = Sen x , hallar la función inversa
Solución
se intercambian lasvariables x = Sen y
se despeja la variable “y” y = Arc Sen x
luego la función inversa es f -1 (x) = Arc sen x
4. Sea la función y = log x, determinar la función inversa
Solución:
se intercambian las variables x = log y
se aplica log b A = x b = A
x = log y y = 10Luego la función inversa es f -1 (x) = 10
5. Sea la función y = , hallar la función inversa
Solución:
se intercambian las variables x= para despejar la variable “y” se elevan ambos miembros de la igualdad con el mismo valor del índice de la raíz
(x) 2 = 2 x 2 = x 2 (5y – 1) = 4y + 1
5 x 2y - x 2 = 4y + 1 5 x 2y – 4y = x 2 – 1
se aplica un factor común de “y” y (5 x 2 – 4 ) = x 2 – 1
se despeja la variable “y” y = . Luego la función inversa es f -1 (x) =
6. Sea la función y = arc cos . Hallar la función inversaSolución:
Se intercambian las variables x = arc cos
se aplica Cos en ambos miembros cos x = cos. arc cos cos x =
se aplica logaritmo neperiano en ambos miembros Ln e= Ln e=
(y + 2) e= y – 1 y e+ 2 e= y -1
se agrupan las variables “y” y e- y = -1 - 2 e
se aplica un factor común y (e- 1) = -1 - 2 e
se despeja la variable “y” y = f -1 (x) =
Hallar lafunción inversa de las siguientes funciones reales

1) y = 6x + 4
2) y =
3) y =
4) y = log (x+9)
5) y =
6) y = log ()
7) y =
8) y =
9) y =
10) y =
11) y = 2
12) y =
13) y = e
14) y = Arc sen
15) y = x2 + 2
16) y = Arc cos 2x
17) y = cos x + 2
18) y =
19) y =
20) y =
21) y =
22) y =
Operaciones con funciones
Sean f y g dos funciones reales de variable real. Entonces se pueden definirlas siguientes operaciones denominadas algebras de funciones:
1. Suma (x) = f(x) + g (x) D(f + g )(x) = Df(x) Dg(x)
2. Resta (x) = f(x) - g (x) D(f - g )(x) = Df(x) Dg(x)
3. Producto (x) = f(x) g (x) D(f . g )(x) = Df(x) Dg(x)
4. Cociente (x) = D(x) = Df(x) Dg(x) - {x/g(x) 0}
Ejemplo:
Sean las funciones reales f(x) = x+5 y g(x) = x2 +3x -10 .Hallar a) (x) b)(x)
Solución
a) (x) = (x+5) + (x2 + 3x -10) = x2 +4x – 5
b) (x) = (x+5) - (x2 + 3x -10) = -x2 -2x + 15
Ejercicios propuestos de algebra de funciones

En los siguientes ejercicios se definen las funciones f y g Determine las funciones resultantes

, , ,

1.
2.
3.
4.
5.

6.

7.

8.


Composición deFunciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g".
Sean f : A B y g : B C dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él.
El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural...