ex sist

Ingenier´ T´cnica de Telecomunicaci´n: Sistemas de Telecomunicaci´n
ıa e
o
o
o Curso)
Sistemas Lineales (1
Curso Acad´mico 2003–2004
e
Fecha: 11 de Junio de 2004

Soluci´n del Examen de Sistemas Lineales
o
Cuestiones
T1.- Discutir razonadamente la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
a) El sistema inverso de H(z) = 1 + 2z −1 es causal y estable. [0.3 puntos]
FALSO:Primero se calcula el sistema inverso: H −1 (z) =

1
H(z)

=

1
1+2z −1

=

z
z+2 .

Este sistema tiene un polo en z = −2. Esto implica que no puede ser causal y estable
al mismo tiempo.
b) La funci´n del sistema H(z) =
o

1
1− 2 z
1− 1 z
3

que corresponde a un sistema estable

debe ser causal. [0.3 puntos]
FALSO:
H(z) =

1− 1 z
2
1
1− 3 z

implica que el sistematiene un polo en z = 3. Puesto que el sistema

es estable, la ROC debe ser |z| < 3 (es decir, la ROC debe incluir al c´
ırculo unidad).
Puesto que la ROC es a irquierdas, el sistema no puede ser causal.
c) Dado el siguiente sistema :
y[n] + 2y[n − 1] = x[n]
no se puede estudiar su estabilidad por falta de informaci´n. [0.3 puntos]
o
VERDADERO:
Primero se calcula la funci´n del sistema,H(z):
o
Y (z)
1
=
X(z)
1 + 2z −1
Este sistema tiene un polo en z = −2. Para que el sistema sea estable, la ROC debe ser
|z| < 2, es decir, el sistema debe ser no causal. Como el enunciado no dice si el sistema
es o no causal, no tenemos informaci´n suficiente para determinar su estabilidad.
o
1

d) El sistema descrito por:
∞

3−n

y[n] =
k=−∞

1
3

n−k

x[k]

esinvariante en el tiempo. [0.3 puntos]
FALSO:
Se reescribe y[n]:
∞

3−n

y[n] =
k=−∞

1
3

n−k

x[k] = 3−n

1
3

∞

n

k=−∞

1
3

−k

x[k] =

1
9

n

∞

3k x[k]
k=−∞

Y se considera un contraejemplo:
Sea x1 [n] = δ[n], entonces
1
9

y1 [n] =

∞

n

3k δ[k] =
k=−∞

1
9

n

Sea x2 [n] = x1 [n − 1] = δ[n − 1], entonces
y2 [n] =

1
9

n

∞3k δ[k − 1] = 3
k=−∞

1
9

n

= y1 [n − 1]

Por lo tanto el sistema no es invariante en el tiempo.
e) La respuesta en frecuencia del sistema
H(z) =

1 − 5z −1
1 − 1 z −1
5

tiene una amplitud constante. [0.3 puntos]
VERDADERO:
Se resuelve calculando el m´dulo de la respuesta en frecuencia:
o

H(ejω ) =

1 − 5e−jω
1 − 5e−jω
1 − 5e−jω
5ejω 1 − 5e−jω
jω
−
=5
=5
1−jω = − ejω e−jω − 5 = 5 e
1 − 5ejω
(1 − 5e−jω )∗
1 − 5e

2

T2.- En la figura adjunta est´ representada la transformada de Fourier de la se˜ al
a
n
x(t), que denominamos X(jω).

Se pide:
a) Calcular x(t) [0.6 puntos].
La transformada de Fourier dada, X(jω), se puede expresar como
X(jω) = |X(jω)|ej∠X(jω) = |X(jω)|e−j2ω .
Para calcular x(t) usamos la se˜al intermedia
n
X1 (jω) =|X(jω)|.
Conocemos el par transformado
senW t
←→ X(jω) =
πt

1, |ω| < W ;
0, |ω| > W.

De modo que, directamente x1 (t) = sen(3t) . Ahora aplicamos la propiedad de desplazaπt
miento temporal:
x(t − t0 ) ←→ X(jω)e−jωt0 ,
de lo que deducimos que
x(t) = x1 (t − 2) =

3

sen(3(t − 2))
.
π(t − 2)

b) Si definimos z(t) como:
dx(t)
,
dt
calcular la transformada de Fourier de z(t),Z(jω), y representarla en m´dulo
o
y fase. [0.6 puntos]
z(t) =

Aplicando la propiedad de derivaci´n en el tiempo,
o
dx(t)
←→ jωX(jω),
dt
tenemos que
Z(jω) = jωX(jω).
El m´dulo por tanto ser´
o
a
|Z(jω)| = |ω||X(jω)|,
cuya representaci´n se muestra en la Figura 1.
o

|Z(j ω)|

3

−3

3

ω

Figura 1: M´dulo de la transformada de Fourier de z(t), |Z(jω)|.
o
Y la fase ser´:a
∠Z(jω) =

−π + π/2 + ∠X(jω) = −π/2 − 2ω,
π/2 + ∠X(jω) = π/2 − 2ω,

ω < 0;
ω > 0.

En ω = 0 el m´dulo de Z(jω) es cero, y por lo tanto la fase no est´ definida. La
o
a
representaci´n de la fase la podemos ver en la p´gina siguiente en la Figura 2.
o
a

4

Z(jω )

pendiente = −2
π
2

3

ω

−3
π

pendiente = −2

2

Figura 2: Fase de la transformada de...