Expresiones_algebraicas

Expresiones Algebraicas Racionales

EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Llamaremos expresiones algebraicas racionales a las de la forma

A( x )
donde A(x) y B(x) son
B( x )

polinomios de variable x, y B(x) ≠ 0.
7
Por ejemplo,
es una expresión algebraica racional porque el numerador A(x) = 7 es un
x−2
polinomio y el denominador B(x) = x − 2 también es un polinomio.

También es una expresiónalgebraica racional

x 3 − 2x + 3
x 2 + 7x

.

x 5 + 3x 3

una expresión algebraica racional?..............................................................................
x −3
La expresión x 2 − 9 es también racional porque x 2 − 9 es un polinomio y 1, su denominador,
también lo es.
¿Es

Simplificación de expresiones racionales

Recordamos que, dado el racional
donde

a a⋅n
con n ≠ 0 .
=
b b⋅nAnálogamente para

equivalentes:

2
2 4 14
podemos hallar otros equivalentes con él: = =
= ...
3
3 6 21

la expresión racional

A( x )
pueden hallarse expresiones racionales
B( x )

A( x ) A( x ) ⋅ N( x )
=
siendo N(x) cualquier polinomio no nulo.
B( x ) B( x ) ⋅ N( x )

En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple
77
7 ⋅ 11
7
que una dada. Por ejemplo,
==
2
132 2 ⋅ 3 ⋅ 11 12
También es posible simplificar expresiones algebraicas racionales cuando existen factores
comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la expresión racional es irreducible.
Consideremos

x2 − 1
x 3 + 3x 2 − x − 3

. Factorizamos su numerador y su denominador:

x 2 − 1 = ( x + 1) ( x − 1)
x 3 + 3x 2 − x − 3 = x 2 ( x + 3) − ( x + 3) = ( x + 3) ( x 2 − 1) = ( x + 3) (x + 1) ( x − 1)
Entonces

x2 − 1
x 3 + 3x 2 − x − 3

=

( x + 1) ( x − 1)
1
si x ≠ 1 y x ≠ −1
=
( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) x + 3

Las dos expresiones racionales,

x2 − 1
3

2

x + 3x − x − 3

y

1
son equivalentes para x ≠ 1 y x ≠ −1.
x+3

Expresiones Algebraicas Racionales

La expresión final es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado
porque ello equivaldría adividir por cero.
Veamos otros ejemplos:
I)

3x 3 − 12x
x 2 − 4x + 4
x2 + 5

3x ( x 2 − 4)
( x − 2) 2

=

x2 + 5

3x ( x + 2) ( x − 2) 3x ( x + 2)
=
( x − 2) ( x − 2)
x−2
=

si x ≠ 2

1

∀ x ∈ R ¿Por qué esta expresión es válida para
x 4 − 25 ( x 2 + 5) ( x 2 − 5) x 2 − 5
cualquier númeroreal?...........................................................................................................................
II)

=

=

Actividad Nº1
Simplificar, indicando para qué valores de x la expresión resultante es equivalente a la dada.
a)

2x − 6
x 2 − 6x + 9

x2 + x
b)
x +1

c)

x 3 − 49x

d)

x 3 − 14x 2 + 49 x

x2 − x − 6
x 2 + 3x + 2

Operaciones con Expresiones Algebraicas Racionales
Para operar con expresiones racionales, aplicamos las mismas propiedades y técnicas que para
operar confracciones numéricas.
Adición y Sustracción

3
1
+ necesitamos hallar fracciones equivalentes a los sumandos,
14 21
3
1
3
1
3 ⋅ 3 + 1 ⋅ 2 11
de igual denominador:
+
=
+
=
=
.
14 21 2 ⋅ 7 3 ⋅ 7
2 ⋅3⋅ 7
42
Recordamos que para sumar

Para sumar (o restar) expresiones racionales de distinto denominador, debemos sumar (o restar)
expresiones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. Parahallarlo, factorizamos los
denominadores y luego multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente
con el que figura (mínimo común múltiplo).
Veamos el siguiente ejemplo:

2
2

3x − 6x + 3

Factorizamos los denominadores: =

+

x
2

x + 3x − 4

2
3 ( x 2 − 2x + 1)

+

=

x
2
x
=
+
=
( x − 1) ( x + 4) 3 ( x − 1) 2 ( x − 1) ( x + 4)

Buscamos expresiones equivalentes con igualdenominador:

Operamos en el numerador y sumamos: =

2x + 8 + 3x 2 − 3x
3 ( x − 1) 2 ( x + 4)

2 ( x + 4)
2

3 ( x − 1) ( x + 4)
=

+

x ⋅ 3 ( x − 1)
3 ( x − 1) 2 ( x + 4)

3x 2 − x + 8
3 ( x − 1) 2 ( x + 4)

El numerador no tiene raíces reales, por lo tanto la expresión obtenida es irreducible.

=

Expresiones Algebraicas Racionales

Vamos a calcular

x − 10
2

x + 3x − 10

−

2x + 4
x2 − 4...