Factores
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Publicado: 22 de noviembre de 2012
EXPERIMENTO DE UN SOLO FACTOR COMPLETAMENTE ALEATORIO (D.C.A.)
Los experimentos son una parte natural del proceso de toma de decisiones de la ingeniería y la administración.
Como un ejemplo veamos el siguiente:
Un fabricante de papel que se emplea para bolsas de comestibles, se interesa en mejorar la resistencia a la tensión del producto. Ingeniería de productos considera que laresistencia a la tensión es una función de la concentración de madera dura en la pulpa, y que el intervalo de concentraciones de madera dura de interés práctico está entre 5 y 20 por ciento. Uno de los ingenieros responsables del estudio decide investigar cuatro niveles de la concentración de madera dura: 5, 10 15 y 20 por ciento. Decide también elaborar seis especimenes de prueba en cada nivel deconcentración, utilizando una planta piloto. Los 24 especimenes se prueban en un probador de tensión de laboratorio, en orden aleatorio. Los datos sobre este experimento se muestran a continuación:
Resistencia a la tensión de papel (libra por pulgada cuadrada) |
Concentración de madera dura (%) | Observaciones | Totales | Promedios |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | |
5 | 7 | 8 | 15 | 11 | 9 |10 | 60 | 10.00 |
10 | 12 | 17 | 13 | 18 | 19 | 15 | 94 | 15.67 |
15 | 14 | 18 | 19 | 17 | 16 | 18 | 102 | 17.00 |
20 | 19 | 25 | 22 | 23 | 18 | 20 | 127 | 21.17 |
| | | | | | | 383 | 15.96 |
El anterior es un ejemplo de un experimento de un solo factor completamente aleatorio con cuatro niveles del factor. Los niveles del factor en ocasiones se llaman tratamientos. Cadatratamiento tiene seis observaciones o repeticiones. La aleatoriedad en este experimento es un extremo importante. Al hacer aleatorio el orden de las 24 series, el efecto de cualquier variable perjudicial que puede afectar la resistencia a la tensión observada, más o menos se equilibra.
ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)
Supóngase que tenemos diferentes niveles a de un solo factor (tratamientos) quedeseamos comparar. La respuesta observada para cada uno de los a tratamientos es una variable aleatoria. Los datos figuran como en la siguiente tabla:
Datos típicos para el análisis de varianza de clasificación en un sentido. |
Tratamiento | Observación | Totales | Promedios |
1 | y11 | y12 | ··· | y1n | y1· | |
2 | y21 | y22 | ··· | y2n | y2· | |
··· | ··· | ··· | ········· | ··· | ··· |··· |
a | ya1 | ya2 | ··· | yan | ya· | |
Un dato en la tabla anterior, por ejemplo yij, representa la observación j-ésima tomada bajo el tratamiento i. En un principio consideramos el caso en el que hay un número igual de observaciones, n, en cada tratamiento.
Podemos describir las observaciones de la tabla anterior, por medio de un modelo estadístico lineal, de la siguiente manera:con i= 1,2,…a
j= 1,2,…n
donde yij es la observación i-j-ésima, µ es un parámetro común para todos los tratamientos, llamado media general, τi es un parámetro asociado con el tratamiento i-ésimo denominado efecto de tratamiento i-ésimo, y εij es un componente del error aleatorio.
El modelo descrito anteriormente, recibe el nombre de análisis de varianza de clasificaciónunidireccional, debido a que solo se investiga un factor. Además, requeriremos que las observaciones se tomen en orden aleatorio de manera que el ambiente en el que se usan los tratamientos (llamados a menudo unidades experimentales) sea lo más uniforme posible. Lo anterior se denomina diseño experimental completamente aleatorio.
En esta ocasión desarrollaremos el ANOVA para la clasificaciónunidireccional del modelo de efectos fijos. En este modelo, los efectos de tratamiento τi se suelen definir como desviación de la media general, por lo que:
Estamos interesados en probar la igualdad de los a efectos de tratamiento. Teniendo en cuenta la ecuación anterior, las hipótesis apropiadas son:
El procedimiento de prueba para la hipótesis anterior, se llama ANOVA. El...
Los experimentos son una parte natural del proceso de toma de decisiones de la ingeniería y la administración.
Como un ejemplo veamos el siguiente:
Un fabricante de papel que se emplea para bolsas de comestibles, se interesa en mejorar la resistencia a la tensión del producto. Ingeniería de productos considera que laresistencia a la tensión es una función de la concentración de madera dura en la pulpa, y que el intervalo de concentraciones de madera dura de interés práctico está entre 5 y 20 por ciento. Uno de los ingenieros responsables del estudio decide investigar cuatro niveles de la concentración de madera dura: 5, 10 15 y 20 por ciento. Decide también elaborar seis especimenes de prueba en cada nivel deconcentración, utilizando una planta piloto. Los 24 especimenes se prueban en un probador de tensión de laboratorio, en orden aleatorio. Los datos sobre este experimento se muestran a continuación:
Resistencia a la tensión de papel (libra por pulgada cuadrada) |
Concentración de madera dura (%) | Observaciones | Totales | Promedios |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | | |
5 | 7 | 8 | 15 | 11 | 9 |10 | 60 | 10.00 |
10 | 12 | 17 | 13 | 18 | 19 | 15 | 94 | 15.67 |
15 | 14 | 18 | 19 | 17 | 16 | 18 | 102 | 17.00 |
20 | 19 | 25 | 22 | 23 | 18 | 20 | 127 | 21.17 |
| | | | | | | 383 | 15.96 |
El anterior es un ejemplo de un experimento de un solo factor completamente aleatorio con cuatro niveles del factor. Los niveles del factor en ocasiones se llaman tratamientos. Cadatratamiento tiene seis observaciones o repeticiones. La aleatoriedad en este experimento es un extremo importante. Al hacer aleatorio el orden de las 24 series, el efecto de cualquier variable perjudicial que puede afectar la resistencia a la tensión observada, más o menos se equilibra.
ANÁLISIS DE VARIANZA (ANOVA)
Supóngase que tenemos diferentes niveles a de un solo factor (tratamientos) quedeseamos comparar. La respuesta observada para cada uno de los a tratamientos es una variable aleatoria. Los datos figuran como en la siguiente tabla:
Datos típicos para el análisis de varianza de clasificación en un sentido. |
Tratamiento | Observación | Totales | Promedios |
1 | y11 | y12 | ··· | y1n | y1· | |
2 | y21 | y22 | ··· | y2n | y2· | |
··· | ··· | ··· | ········· | ··· | ··· |··· |
a | ya1 | ya2 | ··· | yan | ya· | |
Un dato en la tabla anterior, por ejemplo yij, representa la observación j-ésima tomada bajo el tratamiento i. En un principio consideramos el caso en el que hay un número igual de observaciones, n, en cada tratamiento.
Podemos describir las observaciones de la tabla anterior, por medio de un modelo estadístico lineal, de la siguiente manera:con i= 1,2,…a
j= 1,2,…n
donde yij es la observación i-j-ésima, µ es un parámetro común para todos los tratamientos, llamado media general, τi es un parámetro asociado con el tratamiento i-ésimo denominado efecto de tratamiento i-ésimo, y εij es un componente del error aleatorio.
El modelo descrito anteriormente, recibe el nombre de análisis de varianza de clasificaciónunidireccional, debido a que solo se investiga un factor. Además, requeriremos que las observaciones se tomen en orden aleatorio de manera que el ambiente en el que se usan los tratamientos (llamados a menudo unidades experimentales) sea lo más uniforme posible. Lo anterior se denomina diseño experimental completamente aleatorio.
En esta ocasión desarrollaremos el ANOVA para la clasificaciónunidireccional del modelo de efectos fijos. En este modelo, los efectos de tratamiento τi se suelen definir como desviación de la media general, por lo que:
Estamos interesados en probar la igualdad de los a efectos de tratamiento. Teniendo en cuenta la ecuación anterior, las hipótesis apropiadas son:
El procedimiento de prueba para la hipótesis anterior, se llama ANOVA. El...
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