Felixjvargas

Postgrado de Modelado y Simulación de Sistemas



Estadística y Simulación

El coeficiente de correlación de dos variables aleatorias X y Y se define como:

 

% 

#



#

Ejemplo (cálculo de la correlación): Para las variables X y Y continuas, especificadas anteriormente con
distribución continua dada por
      
 
  








  


 

  




  

 





  








&
 

&
 

 
   
    















Propiedades de la Covarianza
1. Si Cov(X,Y) = 0, se dice que X y Y no están correlacionadas
2. Si X y Y son V.A. independientes, entonces Cov(X,Y)=0. Sin embargo, el recíproco no es
verdadero; es decir, siCov(X,Y) = 0 esto no necesariamente implica que X y Y son
independientes, a menos que X y Y tengan una distribución normal conjunta.

Variables Aleatorias Discretas y Continuas
En estadística se usan las distribuciones de probabilidad por varias razones:
 Para prueba de hipótesis
 Para calcular probabilidades
 En simulaciones, para modelar diferentes tipos de procesos y generar númerosaleatorios con
diferentes distribuciones.
En general, es bueno contar con la siguiente información básica de referencia acerca de cada una de
las distribuciones:

Probabilidad y Variables Aleatorias

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Estadística y Simulación

 Posibles aplicaciones
 Parámetros
 Rango
 Función de densidad
 Gráficos
 Función de distribución
Media
 Varianza
Y desde el punto de vista de su uso en simulación además sería necesario:
• Estimadores máximo verosímiles de los parámetros1
• Algoritmos para generar variables aleatorias con la distribución dada
Es buena idea tener siempre a mano un catálogo de las distribuciones con todas estas propiedades. Uno
debería tratar de recordar por lo menos las aplicaciones, el gráfico y losparámetros de las
distribuciones principales. Algunas de estas cosas se aprenderán en el curso de simulación. En
particular, revisarán en detalle los algoritmos para generar las diferentes distribuciones de probabilidad.
En R, para cada una de las distribuciones disponibles se tienen las siguientes funciones:
 d es la función de densidad de probabilidad
 p es la probabilidad acumulada
 q son loscuantiles de la distribución
 r son números aleatorios generados para la distribución
Cada una de las letras se usa como prefijo con el nombre de la distribución dada para obtener la
función deseada. Por ejemplo, el nombre de la distribución normal en R es norm. Entonces:
 dnorm: permite calcular densidades normales con los parámetros dados
 pnorm: calcula probabilidades acumuladasnormales con los parámetros dados
 qnorm: genera cuantiles de una distribución normal con la media y la distribución estándar dada
 rnorm: genera números aleatorios normales con la media y la distribución estándar dada
Existe una gran variedad de variables aleatorias útiles en modelado y simulación. Entre
variables aleatorias discretas de interés se encuentran:

de las

1Un estimador máximoverosímil es un procedimiento de estimación de parámetros que maximiza la función de
verosimilitud o su logaritmo. La función de verosimilitud para una muestra aleatoria de n observaciones x1, x2,...xn con una
distribución de probabilidad f(x,theta) esta dada por:

'



  ()(

Lo que esencialmente el procedimiento hace es calcular los parámetros que, dados los datos y el modeloespecificado, hacen
que los datos observados sean los más probables. El procedimiento garantiza que los estimadores obtenidos tienen ciertas
propiedades deseables como que sean no sesgados y eficientes.

Probabilidad y Variables Aleatorias

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Estadística y Simulación

Bernoulli
Uniforme
Binomial
Geométrica...