ffsdf

DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD T
El resultado ofrecido en el teorema anterior nos proporciona la base del desarrollo de procedimientos para
hacer inferencias con respecto a la media de una población normal con una varianza . En este caso el
teorema 7.1 nos dice que
tiene una distribución normal estándar. Cuando se desconoce se le puede estimar mediante
y la expresión

nos dará como base parael desarrollo de métodos de inferencias con respecto a .
Demostraremos que la distribución de probabilidad de
esta dada por una función de densidad de probabilidad conocida como distribución
de Student con n 1 grados de libertad . La definición general de una variable aleatoria que posee una
distribución
de Student ( 0 simplemente distribución t), es la siguiente:
DEFINICION: Sea Z unavariable aleatoria normal estándar y sea
una variable aleatoria ji − cuadrada con grados de libertad.
Entonces si
y
son independientes,

se dice que tiene una distribución t con grados de libertad.
Si Y1, Y2, ..., Yn es una muestra aleatoria de una población normal con media y varianza , se puede
aplicar el teorema 7.1 para demostrar que
tiene una distribución normal estándar. El teorema 7.3nos dice que
tiene una distribución
con
grados de libertad y que Z y
son independientes (ya que
los son). Por lo tanto, por la definición 7.2
1

tiene una distribución t con (n−1) grados de libertad.
La ecuación para la función de densidad t no se presentara aquí, pero se dan algunas indicaciones para su
obtención en los ejercicios del final del capitulo. Como la función de densidadnormal estándar, la función de
densidad t es simétrica con respecto a cero, además, para
> 1, E( T ) =0 y para
> 2, V ( T ) =
/(
− 2 ). Así vemos que una variable aleatoria con una distribución
tiene el mismo valor esperado que una variable normal estándar. Sin embargo, una variable aleatoria normal
estándar siempre tiene una varianza de 1, mientras que la varianza de una variable aleatoriacon una
distribución
siempre es mayor que 1.
En al figura 7.2 se muestran las gráficas de una función de densidad normal estándar y de una función de
densidad t. Nótese que ambas funciones de densidad son simétricas con respecto al origen, pero que la
densidad t tiene mas masa probabilística en las colas.
Normal
7.2 estándar
Una comparación entre las funciones
de densidad normal estándar yt t
0
valores de tales que P ( T >
) = para =0.100,0.050,0.025,0.010 y 0.005
se dan en la tabla 5 del apéndice III . Por ejemplo si una variable aleatoria tiene una distribución
con 21 grados de libertad (g.1.),
0.100 se encuentra al buscar en el renglón encabezado por 21g.1. y en la columna con
0.100 . aplicando la tabla 5, vemos que
0.100 = 1.323. Por lo tanto, para 21g.1. laprobabilidad de que una variable aleatoria con distribución
sea mayor que 1.323 es 0.100.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD F
Supóngase que deseamos comparar las varianzas de dos poblaciones normales basados en la información
contenida en muestras aleatorias independiente de las dos poblaciones. Supóngase que una muestra aleatoria
contiene n1 variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianzacomún
y que la otra muestra aleatoria contiene
variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza común
y que la otra muestra aleatoria contiene
2

variables aleatorias distribuidas normalmente con una varianza común
. Si calculamos
de las observaciones en la muestra 1, entonces
es una estimación de
. De manera similar,
calculada a partir de las observaciones de la segundamuestra es una estimación para
. Así intuitivamente podríamos pensar en utilizar
/
para hacer inferencias con respecto a las magnitudes relativas de
y
. Si dividimos cada
por
, entonces la razón siguiente

tiene una distribución
con
grados de libertad. La definición general de una distribución
es como sigue:
DEFINICION Sean
y
variables aleatorias ji − cuadrada con
y
grados de...