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Cap´
ıtulo 6

Principales leyes de
distribuci´n de variables
o
aleatorias
6.1.

Introducci´n
o

Como complemento al cap´
ıtulo anterior en el que definimos todos los conceptos relativos a variables aleatorias, describimos en ´ste las principales
e
leyes de probabilidad que encontramos en las aplicaciones del c´lculo de
a
probabilidades. Atendiendo a la clasificaci´n de las v.a. endiscretas y cono
tinuas describiremos las principales leyes de probabilidad de cada una de
ellas, las cuales constituir´n el soporte subyacente de la inferencia estad´
a
ıstica y a las que ser´ necesario hacer referencia en el estudio de dicho bloque.
a
Iniciamos este cap´
ıtulo con el estudio de las distribuciones para v.a. discretas.

131

132

Bioestad´
ıstica: M´todos yAplicaciones
e

6.2.

Distribuciones discretas

6.2.1.

Distribuci´n de Bernoulli
o

Consiste en realizar un experimento aleatorio una s´la vez y observar si
o
cierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto sea as´ (´xito)
ı e
y q = 1−p el que no lo sea (fracaso). En realidad no se trata m´s que de una
a
variable dicot´mica, es decir que unicamente puede tomar dosmodalidades,
o
´
es por ello que el hecho de llamar ´xito o fracaso a los posibles resultados de
e
las pruebas obedece m´s una tradici´n literaria o hist´rica, en el estudio de
a
o
o
las v.a., que a la situaci´n real que pueda derivarse del resultado. Podr´
o
ıamos
por tanto definir este experimento mediante una v.a. discreta X que toma
los valores X = 0 si el suceso no ocurre, y X = 1 encaso contrario, y que
se denota X;Ber (p)

−→ q = 1 − p = P[X = 0]


 1

X;Ber (p) ⇐⇒ X =


 0


−→ p = P[X = 1]

(6.1)

Un ejemplo t´
ıpico de este tipo de variables aleatorias consiste en lanzar una
moneda al aire y considerar la v.a.
q=

1
2




 1 −→

X ≡ n´mero de caras obtenidas =
u


 0 −→




p=

1
2

Para una v.a. de Bernouilli,tenemos que su funci´n de probabilidad es:
o

f (x) =


 q


p


 0

si x = 0
si x = 1
en cualquier otro caso;

Los principales momentos de X son:

6.2. DISTRIBUCIONES DISCRETAS

133

E [X] = p
Var [X] = p · q

6.2.2.

(6.2)
(6.3)

Distribuci´n binomial
o

Se dice que una v.a. X sigue una ley binomial de par´metros n y p,
a
X;B (n, p), si es la suma de nv.a. independientes de Bernouilli con el
mismo par´metro, p:
a
donde Xi ;Ber (p), ∀ i = 1, . . . , n
(6.4)
Esta definici´n puede interpretarse en el siguiente sentido: Supongamos que
o
realizamos n pruebas de Bernouilli, Xi , donde en todas ellas, la probabilidad de ´xito es la misma (p), y queremos calcular el n´mero de ´xitos, X,
e
u
e
obtenidos el el total de las n pruebas. Su ley deprobabilidad es1 En la Figura 6.1 se representa la funci´n de probabilidad de una variable binomial.
o

X;B (n, p) ⇐⇒ X = X1 +· · ·+Xn ,

f (k) = P [X = k] =

n
k

pk q n−k

∀ k = 0, 1, . . . , n

(6.5)

El valor esperado y la varianza de esta variable son:
E [X] = np

Var [X] = npq
Ejemplo de uso de la distribuci´n binomial
o
Un m´dico aplica un test a 10 alumnos de un colegiopara detectar
e
una enfermedad cuya incidencia sobre una poblaci´n de ni˜os es del 10 %.
o
n
1
Los valores f (k) los podemos encontrar tabulados para ciertos valores peque˜os de
n
n, y ciertos valores usuales de p en la tabla 1 (al final del libro).

134

Bioestad´
ıstica: M´todos y Aplicaciones
e
0.35
Bin(5;0,5)
0.3

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

-1

0

1

23

4

5

6

Figura 6.1: Funci´n de probabilidad de una variable binomial cunado n es
o
peque˜o.
n

La sensibilidad del test es del 80 % y la especificidad del 75 %. ¿Cual es
la probabilidad de que exactamente a cuatro personas le de un resultado
positivo? Si en la muestra hay cuatro personas a las que el test le da positivo,
¿cu´l es la probabilidad de que entre estas,...