ficcion

Soluci´n de la Tercera Pr´ctica Calificada
o
a
(2012-2)

C´lculo 2
a

1. Dada la funci´n
o

√
1 + sen(x).

f (x) =

a) Use el polinomio de Taylor de f de grado dos alrededor de x0 = 0para encontrar
un valor aproximado de

(3 puntos)
∫

1

f (x)dx.
0

Soluci´n.
o
Las derivadas de f y sus evaluaciones en x0 = 0
1
1 cos x
√
⇒ f ′ (0) = ,
2 sin x + 1
2
1
1
′′
f′′ (x) = −
3 (4 sin x − cos 2x + 3) ⇒ f (0) = − .
4
8 (sin x + 1) 2
f ′ (x) =

El polinomio de Taylor de grado dos de f en x0 = 0
1
1
P2 (x) = 1 + x − x2 .
2
8
La aproximaci´n
o
∫

∫1 (1

f (x)dx ≈
0

)
1
1 2
1 + x − x dx = 1. 208 3.
2
8

0

b) Use el polinomio de Taylor de f de grado uno alrededor de x0 = 0 para aproximar
el valor de f (1). Indique el errorcometido en tal aproximaci´n.
o
Soluci´n. El polinomio de Taylor de grado uno de f
o
1
P1 (x) = 1 + x.
2
La aproximaci´n en x0 = 1
o
3
f (1) ≈ P1 (1) = .
2

(2 puntos)

El error en laaproximaci´n
o
|f
2.

′′

x2
1
(x)| ≤ 1 ⇒ R1 (x) ≤
= .
2
2

a) Analice la convergencia de

(3 puntos)

∫

+∞

0

1 + cos(x)
√
dx
4
x + x2

Soluci´n. La integral es equivalentea la suma de los dos tipos de integrales
o
impropias
∫
0

+∞

1 + cos(x)
√
dx =
4
x + x2

∫

1
0

1 + cos(x)
√
dx +
4
x + x2
I1

∫
1

+∞

1 − cos(x)
√
dx
4
x + x2I2

Analizamos la convergencia de I1 . Si 0 < x < 1 entonces
∫ 1
∫ 1
1
2
1
1 + cos(x)
√
√ dx.
dx <
< 1/4 ⇒
4
4
1/4 + x2
2
x
x
x+x
x
0
0
Por el criterio de comparaci´n
o

∫1

0

1 + cos(x)
√
dx
4
x + x2

converge. Entonces I1 converge.
Similar para la convergencia de I2 . Si 1 < x entonces
∫ +∞
∫ +∞
1
1
1 + cos(x)
2
√
< 2 ⇒
dx <
dx.
4
1/4 + x2
2x
x
x2
x+x
1
1
Entonces I2 converge absolutamente. Finalmente I es convergente.
b) Calcule

∫
0

(2 puntos)
1

√

1
x(1 − x)

dx.

Soluci´n. Es una integral impropia de tipo...