Finanzas
Páginas: 3 (729 palabras)
Publicado: 2 de abril de 2011
La fórmula de Black-Scholes
Patricia Kisbye
Profesorado en Matemática Facultad de Matemática, Astronomía y Física
2010
Patricia Kisbye (FaMAF)
2010
1 / 11
Movimiento browniano
Unproceso estocástico continuo B(t) se dice movimiento browniano si verifica: B(t + s) − B(s) no depende de valores previos a B(s) (incrementos independientes), B(t + s) − B(s) tiene distribución normal √B(t + s) − B(s) ∼ N(µ t, σ t), µ y σ independientes de t y s. Este modelo fue descripto por el botánico Robert Brown (1827), y utilizado para modelar precios de acciones y commodities por Bachelier(1900) Desventaja: precios negativos.
Patricia Kisbye (FaMAF)
2010
2 / 11
Movimiento geométrico browniano
Un proceso estocástico continuo W (t) se dice un movimiento geométrico brownianosi verifica: W (t + s) − W (s) es independiente de valores previos a W (s) W (t + s) tiene distribución lognormal W (s) log W (t + s) W (s) √ ∼ N(µ t, σ t).
En particular E
2 t W (t + s) = eµ t+σ 2W (s)
Patricia Kisbye (FaMAF)
2010
3 / 11
M.G.B.
Si consideramos un intervalo (s, t + s) muy pequeño, podemos aproximar log W (t + s) W (s) ∼ W (t + s) − W (s) ∆W = . W (s) W
Unmovimiento geométrico browniano puede describirse entonces como: √ ∆W = µ ∆t + σ Z ∆t W µ ∆t: componente determinística. Z ∼ N(0, 1): interviene en la componente estocástica.
Patricia Kisbye (FaMAF)2010
4 / 11
M.G.B. como modelo de precios de activos
Consideremos una serie histórica de precios de un determinado activo, tomados en intervalos de tiempo ∆t. S0 , S1 , S2 , . . . , Sn ,. . . donde Sk es el precio del activo en el tiempo t = k ∆t. Para cada k ≥ 0, Sk +1 = Sk erk ∆t , donde rk es la tasa de interés instantánea en t = k ∆t.
Patricia Kisbye (FaMAF)
2010
5 / 11 Hipótesis
Para n suficientemente grande, (∆t pequeño), se asumen las siguientes hipótesis: Los valores r1 , r2 , . . . , rn están normalmente distribuidos: rj ∼ N (µ, σ) , µ: Tendencia (anual)...
Patricia Kisbye
Profesorado en Matemática Facultad de Matemática, Astronomía y Física
2010
Patricia Kisbye (FaMAF)
2010
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Movimiento browniano
Unproceso estocástico continuo B(t) se dice movimiento browniano si verifica: B(t + s) − B(s) no depende de valores previos a B(s) (incrementos independientes), B(t + s) − B(s) tiene distribución normal √B(t + s) − B(s) ∼ N(µ t, σ t), µ y σ independientes de t y s. Este modelo fue descripto por el botánico Robert Brown (1827), y utilizado para modelar precios de acciones y commodities por Bachelier(1900) Desventaja: precios negativos.
Patricia Kisbye (FaMAF)
2010
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Movimiento geométrico browniano
Un proceso estocástico continuo W (t) se dice un movimiento geométrico brownianosi verifica: W (t + s) − W (s) es independiente de valores previos a W (s) W (t + s) tiene distribución lognormal W (s) log W (t + s) W (s) √ ∼ N(µ t, σ t).
En particular E
2 t W (t + s) = eµ t+σ 2W (s)
Patricia Kisbye (FaMAF)
2010
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M.G.B.
Si consideramos un intervalo (s, t + s) muy pequeño, podemos aproximar log W (t + s) W (s) ∼ W (t + s) − W (s) ∆W = . W (s) W
Unmovimiento geométrico browniano puede describirse entonces como: √ ∆W = µ ∆t + σ Z ∆t W µ ∆t: componente determinística. Z ∼ N(0, 1): interviene en la componente estocástica.
Patricia Kisbye (FaMAF)2010
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M.G.B. como modelo de precios de activos
Consideremos una serie histórica de precios de un determinado activo, tomados en intervalos de tiempo ∆t. S0 , S1 , S2 , . . . , Sn ,. . . donde Sk es el precio del activo en el tiempo t = k ∆t. Para cada k ≥ 0, Sk +1 = Sk erk ∆t , donde rk es la tasa de interés instantánea en t = k ∆t.
Patricia Kisbye (FaMAF)
2010
5 / 11 Hipótesis
Para n suficientemente grande, (∆t pequeño), se asumen las siguientes hipótesis: Los valores r1 , r2 , . . . , rn están normalmente distribuidos: rj ∼ N (µ, σ) , µ: Tendencia (anual)...
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