Fisica Matematica

Apuntes de Física Matemática
(Ecuaciones en Derivadas Parciales e
Integrales)
Licenciatura en Física

Antonio Cañada Villar
Departamento de Análisis Matemático
Universidad de Granada

A. Ca˜ada, Febrero 2010, EDPF´
n
ISICA
´
´
CAP´
ITULO I: INTRODUCCION Y MOTIVACION

1
1

Aqu´ podr´s encontrar los apartados siguientes: conocimientos previos necesarios
ı
a
para seguiradecuadamente este cap´
ıtulo, resumen del mismo con la bibliograf´
ıa
recomendada y actividades complementarias. Al final aparece una relaci´n de
o
ejercicios.
En la p´gina web
a
http://www.ugr.es/∼acanada/
encontrar´s informaci´n adicional sobre la asignatura (ex´menes, enlaces a p´ginas
a
o
a
a
relacionadas, pr´cticas de ordenador, etc.)
a

CONOCIMIENTOS PREVIOS
1. Ley de Newtonsobre el potencial gravitacional de distribuciones de masas
discretas y continuas.
2. Teorema fundamental del c´lculo y teorema de derivaci´n de una integral paa
o
ram´trica.
e
3. C´lculo de las soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de sea
gundo orden con coeficientes constantes.
Estos conocimientos se pueden consultar, por ejemplo, en las referencias siguientes:
1. T.M.Apostol. An´lisis Matem´tico. Revert´, Barcelona, 1960.
a
a
e
2. I. Peral : Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales.Addison-Wesley,
Wilmington, 1995.
3. http://mathworld.wolfram.com/
4. http://scienceworld.wolfram.com/physics/

RESUMEN DEL CAP´
ITULO
El objetivo b´sico de este cap´
a
ıtulo es que el alumno conozca el origen de las ecuaciones en derivadas parciales (EDP),tanto en su relaci´n con otras disciplinas mao
tem´ticas como en el importante papel que juegan en las aplicaciones a diversas
a
materias, especialmente f´
ısica e ingenier´ Se pretende de manera especial que el
ıa.
1

A. Ca˜ada, Febrero 2010, EDPF´
n
ISICA

A. Ca˜ada, Febrero 2010, EDPF´
n
ISICA

2

alumno reconozca adecuadamente los tres tipos b´sicos de EDP: la ecuaci´n de onao
das, la ecuaci´n del calor y la ecuaci´n del potencial. Asimismo, el alumno debe
o
o
prestar una atenci´n especial a los p´rrafos en letra negrita que le informan de
o
a
problemas que aparecen en f´
ısica, ingenier´ etc., relacionados con EDP.
ıa,
El problema de la cuerda vibrante y la ecuaci´n de ondas
o
El primer problema que presentamos en este cap´
ıtulo es el problema de
lacuerda vibrante. Puede describirse de la siguiente forma: supongamos
que una cuerda flexible se estira hasta quedar tensa y que sus extremos
se fijan, por conveniencia, en los puntos (0, 0) y (π, 0) del eje de abscisas.
Entonces se tira de la cuerda hasta que ´sta adopte la forma de una cure
va dada por la ecuaci´n y = f (x) y se suelta. La cuesti´n es: ¿Cu´l es
o
o
a
el movimiento descritopor la cuerda? Si los desplazamientos de ´sta se
e
hallan siempre en un mismo plano y el vector del desplazamiento es perpendicular, en cualquier momento, al eje de abscisas, dicho movimiento
vendr´ dado por una funci´n u(x, t), donde u(x, t) representar´ el desplaa
o
a
zamiento vertical de la cuerda, en la coordenada x ( 0 ≤ x ≤ π ) y el
tiempo t (t ≥ 0). El problema que se plantea esobtener u(x, t) a partir de
f (x).
El primer matem´tico que elabor´ un modelo apropiado para el anterior problema
a
o
fue Jean Le Rond D’Alembert. Bajo diversas hip´tesis (referentes fundamentalmente
o
a que las vibraciones sean “peque˜as”), D’Alembert demostr´ en 1747 (Hist. de
n
o
l’Acad. de Berlin, 3, 1747, 214-219) que la funci´n u debe satisfacer las condiciones:
o
∂ 2 u(x, t)
∂t2

=∂ 2 u(x, t)
,
∂x2

u(x, 0) = f (x),

0 < x < π, t > 0
0≤x≤π
(1)

∂u(x, 0)
∂t

= 0,

0≤x≤π

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0
(1) es un problema de tipo mixto. La primera condici´n en (1) es una ecuaci´n
o
o
en derivadas parciales de segundo orden, conocida con el nombre de ecuaci´n de
o
ondas. La segunda relaci´n representa la posici´n inicial de la cuerda, mientras que
o...