Fisica

XXI Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones ´ XI Congreso de Matematica Aplicada Ciudad Real, 21-25 septiembre 2009 (pp. 1–8)

Resoluci´n de la ecuaci´n de Ondas en 2-D y 3-D utilizando o o diferencias finitas generalizadas. Consistencia y Estabilidad. ´ ´ ´ ˜ Alvaro Casasus Acevedo1 , Juan Jose Benito Munoz1 , ˜ Francisco Urena Prieto2 , Luis Gavete Corvinos3
Dpto. de Construcci´ny Fabricaci´n, Universidad Nacional de Educaci´n a Distancia, Madrid. o o o E-mail: pepcasasus@gmail.com, jbenito@ind.uned.es. 2 Dpto. de Matem´ticas, Universidad de Castilla-La Mancha, Ciudad Real. E-mail: a francisco.urena@uclm.es. Dpto. de Matem´tica Aplicada a los Recursos Naturales, Universidad Polit´cnica de Madrid. E-mail: a e lu.gavete@upm.es.
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3

Palabras clave:

diferenciasfinitas generalizadas, ecuaci´n de ondas, m´todo expl´ o e ıcito, estrella.

Resumen En esta comunicaci´n se presenta la utilizaci´n del M´todo de Diferencias Finio o e tas Generalizadas para la resoluci´n de la ecuaci´n de onda, para 2-D y 3-D. Para o o ambos casos se inicia la comunicaci´n con la obtenci´n de las expresiones expl´ o o ıcitas en diferencias finitas generalizadas. a partir de estasexpresiones se estudia el error de truncamiento, consistencia, estabilidad y convergencia. En la comunicaci´n se ino cluyen algunos resultados, de entre los numerosos casos analizados, como ejemplos representativos de la resoluci´n de la ecuaci´n de ondas, que pretenden ilustrar el o o buen comportamiento del m´todo. e

1.

Introducci´n o

La aplicaci´n de m´todos num´ricos en la resoluci´n deproblemas de F´ o e e o ısica e Ingenier´ ha estado presente a lo largo de la historia de las matem´ticas. Sin embargo, la ıa a incorporaci´n de las computadoras les ha dado una importancia a´n mayor. o u Uno de los m´todos tradicionales en la resoluci´n de problemas definidos por medio de e o ecuaciones diferenciales es el de diferencias finitas. Los trabajos de Benito, Gavete y Ure˜a n [1, 2]. Losart´ ıculos [3, 5] muestran la aplicaci´n del m´todo de diferencias finitas generalizadas o e a la resoluci´n de ecuaciones en derivadas parciales dependientes del tiempo. o En esta comunicaci´n se obtienen, en primer lugar, las expresiones expl´ o ıcitas, utilizando 1

A. Casas´s, F. Ure˜a, J.J. Benito, L. Gavete u n

Figura 1: Estrella en 2D

; Estrella en 3D

diferencias finitasgeneralizadas, de la ecuaci´n de ondas. En la siguiente secci´n se estudia o o la consistencia y estabilidad, condiciones necesarias y suficientes para la convergencia de la formulaci´n expl´ o ıcita obtenida en la primera secci´n. o

2.

Diferencias finitas generalizadas y m´todo expl´ e ıcito en 2-D
Se considera la resoluci´n num´rica de la ecuaci´n de ondas para la funci´n U (x, y, t) o e o o

∂ 2U (x, y, t) ∂ 2 F (x, y, t) ∂ 2 F (x, y, t) = c2 [ + ] t > 0, ∂t2 ∂x2 ∂y 2 con las condiciones iniciales U (x, y, 0) = f1 (x, y); y la condici´n de contorno o aU (x0 , y0 , t) + b ∂U (x0 , y0 , t) = g(t) ∂n

(x, y) ∈ Ω ⊂ R2 (1)

∂U (x, y, 0) = f2 (x, y) ∂t

(2)

in Γ

(3)

siendo f1 (x, y), f2 (x, y) y g(t) dos funciones conocidas, c2 es una constante que representa la velocidad depropagaci´n de la onda y Γ la frontera del dominio Ω. o Para la obtenci´n de las f´rmulas expl´ o o ıcitas en diferencias finitas de las derivadas espaciales, una vez discretizado el dominio Ω ∪ Γ, se define el nodo central con un conjunto de nodos a su alrededor, al conjunto de dichos nodos se le denomina estrella, estableciendo una relaci´n entre una estrella y su nodo central (ver figura 1). o Si U0es el valor de la funci´n en el nodo central de la estrella y Uj son los valores de las o funciones en el resto de los nodos, con j = 1, · · · , 8, entonces, de acuerdo con la serie de expansi´n de Taylor o Uj = U0 + hj
2 2 2 2 kj ∂U0 ∂U0 h2 ∂U0 ∂U0 ∂U0 j + kj + + + hj kj + ··· ∂x ∂y 2 ∂x2 2 ∂y 2 ∂x∂y

(4)

2

Resoluci´n de la ecuaci´n de ondas en 2-D y 3-D utilizando GFDM o o...