fisica

Colecci´n de Problemas de
o
C´lculo para Grados en Ingenier´
a
ıa
Isaac A. Garc´ y Susanna Maza
ıa

`
Seminari de Sistemes Dinamics
`
Departament de Matematica
Universitat de Lleida

2

´
Indice general
1. Continuidad de Funciones Reales de Variable Real

1

2. C´lculo Diferencial con una Variable
a

3

3. C´lculo Integral con una Variable
a

7

4. Continuidad deFunciones Reales de Varias Variables Reales

11

5. C´lculo Diferencial con Varias Variables
a

13

6. Integraci´n Doble
o

21

7. Integrales de l´
ınea

25

8. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

27

i

ii

´
INDICE GENERAL

Cap´
ıtulo 1

Continuidad de Funciones
Reales de Variable Real
Problema 1.1 Considerar una funci´n f : [0, 1] → [0, 2] con f ∈ C([0,1]).
o
Demostrar que ∃ ξ ∈ [0, 1] tal que f (ξ) = 2ξ.
´
Indicacion: Estudiar a parte los casos f (0) = 0 y f (1) = 2.
Problema 1.2 Estudiar la continuidad de la funci´n
o
|x|
sin x

f (x) =

si
si

1

x=0,
x=0.

Soluci´n. f ∈ C({nπ : n ∈ Z})
o
Problema 1.3 Calcular el l´
ımite siguiente
l´
ım

x→0

1 + ln(1 + x) −
x

1 − ln(1 + x)

.

Soluci´n. 1.
o
Problema 1.4Calcular el l´
ımite siguiente
2

l´ (cos x)1/x .
ım

√

x→0

Soluci´n. 1/ e.
o
Problema 1.5 Demostrar que la ecuaci´n sin x = x tiene al menos una soluo
ci´n real.
o
Problema 1.6 Calcular el valor de
funci´n
o

 sin x
a sin x + b
f (x) =

2 cos x

los par´metros reales a y b para que la
a
si
si
si

sea continua en todo R.
1

x ≤ −π/2 ,
−π/2 < x < π/2 ,
x ≥π/2 ,

2

Continuidad de Funciones Reales de Variable Real

Soluci´n. a = −b = 1/2.
o
Problema 1.7 Estudiar la continuidad de la funci´n
o
f (x) =

sin(1/x)
1+e1/x

0

si
si

x=0,
x=0,

en x = 0.
Soluci´n. f no es continua en x = 0 pues ∃ l´ x→0 f (x).
o
ım
Problema 1.8 Hallar el dominio de las siguientes funciones
f (x) =

√
sin( x) , g(x) = ln

Soluci´n. Dom(f) =
o
Dom(h) = ∅.

k∈N [4k

x2 − 3x + 2
x+1

, h(x) = arcsin(x) +

2 2

a+x
a+x−1

x

.

xn −an
x−a .

(ii) l´ x→a
ım
(iii) l´ x→0
ım

|x|
x .

(iv) l´ x→0
ım

1
.
1+e1/x

(v) l´ x→0
ım

x−2 .

π , (2k + 1)2 π 2 ]; Dom(g) = (−1, 1) ∪ (2, ∞);

Problema 1.9 Calcular, si es que existen, los l´
ımites siguientes:
(i) l´ x→∞
ım

√

(1+x)m −1
.
xSoluci´n. (i) e. (ii) nan−1 . (iii) y (iv) no existen. (v) m.
o

Cap´
ıtulo 2

C´lculo Diferencial con una
a
Variable
Problema 2.1 Considerar la funci´n f (x) = xn . Demostrar que f (x) = nxn−1
o
utilizando la definici´n de derivada.
o
Problema 2.2 Demostrar que (f g) (a) = f (a)g(a) + f (a)g (a) utilizando la
definici´n de derivada.
o
Problema 2.3 La funci´n f (x) = sin x esbiyectiva cuando se restringe al
o
intervalo (−π/2, π/2). Hallar la derivada de la funci´n g(y) = arcsin y usando
o
el hecho de que g = f −1 .
√
3
Problema 2.4 Considerar la funci´n f (x) = 1 − x2 definida en el intervalo
o
[−1, 1]. Verificar que f (1) = f (−1) y que f (x) no se anula en ning´n punto del
u
intervalo [−1, 1]. Explicar por qu´ no se contradice el Teorema de Rolle.
e
Soluci´n.o

∃f (0) ⇒ f ∈ D((−1, 1)).

Problema 2.5 ¿ Se puede extender la funci´n
o
f (x) =

x ln(2x − x2 )
(x − 1)2

de forma continua en los puntos x = 0, x = 1 y x = 2? Estudiar la derivabilidad
por la derecha de la funci´n extendida en x = 0.
o
Soluci´n. Se puede extender en x = 0 definiendo f (0) = 0 y en x = 1
o
definiendo f (1) = −1. No se puede extender en x = 2. ∃f (0+ ).
Problema2.6 Sean a, b ∈ R y n ∈ N. Demostrar que el polinomio xn + ax + b
tiene como mucho dos ra´ reales si n es par y tres ra´ reales si n es impar.
ıces
ıces
3

4

C´lculo Diferencial con una Variable
a

Problema 2.7 Sea f : R → R de clase C 2 y verificando f (1) − f (0) = 7 y
|f (x)| ≤ 3 para todo x ∈ [0, 1]. Demostrar que f es creciente en un entorno de
x = 0.
Problema 2.8 Estudiar la...