fluidos

Mecánica de Fluidos
(29716)
Grado IM 4to Semestre

Tema 4 Ecuaciones fundamentales
Clase 4
Flujo ideal. Ecuación de Bernoulli
1

Contenido
 Ecuación de Bernoulli
 Ecuación en la dirección normal a las líneas de

corriente
 Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
 Medidores de velocidad y caudal

2

Flujo ideal
transporte (𝜇𝜇, 𝑘𝑘, 𝐷𝐷) son cero y además el fluido esincompresible

 Un flujo ideal es aquel en que las propiedades de

𝛻𝛻 ∙ 𝑉𝑉 = 0

𝜕𝜕𝑉𝑉
𝛻𝛻𝑝𝑝
𝛻𝛻𝑝𝑝
⃗𝑚𝑚 = −
⃗
+ 𝑉𝑉 ∙ 𝛻𝛻𝑉𝑉 = −
+ 𝑓𝑓
− 𝛻𝛻𝑈𝑈
𝑎𝑎 =
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜌𝜌
𝜌𝜌

Ecuaciones
de Euler

La derivada convectiva puede reescribirse como

𝑉𝑉 2
𝑉𝑉 2
⃗
𝑉𝑉 ∙ 𝛻𝛻𝑉𝑉 = ∇
+ 𝛻𝛻 × 𝑉𝑉 × 𝑉𝑉 = 𝛻𝛻
+ 𝜁𝜁 × 𝑉𝑉
2
2

Así que:

𝜕𝜕𝑉𝑉
𝑉𝑉 2
∇𝑝𝑝
⃗ × 𝑉𝑉 = −
+ 𝛻𝛻
+ 𝜁𝜁
− ∇𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
2
𝜌𝜌

3

Ecuaciónde Bernoulli
Para flujo barotrópico

𝛻𝛻𝑝𝑝
𝜌𝜌

= 𝛻𝛻 ∫

𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜌𝜌

Barotrópico: superficies isobáricas paralelas a superficies isotérmicas 𝜌𝜌 = 𝑓𝑓 𝑝𝑝 ó 𝑝𝑝 = 𝑓𝑓 𝜌𝜌

⃗
Si el flujo es irrotacional 𝜁𝜁 = ∇ × 𝑉𝑉 = 0 y entonces 𝑉𝑉 = ∇𝜙𝜙 = 𝛻𝛻𝑉𝑉
𝜕𝜕𝑉𝑉
𝑉𝑉 2
∇𝑝𝑝
⃗
+ 𝛻𝛻
+ 𝜁𝜁 × 𝑉𝑉 +
+ ∇𝑈𝑈 = 0
𝜕𝜕𝜕𝜕
2
𝜌𝜌
𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑉𝑉 2
𝑑𝑑𝑑𝑑
+
+�
+ 𝑈𝑈 = 𝐶𝐶 𝑡𝑡
2
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜌𝜌

𝛻𝛻

𝜕𝜕𝑉𝑉 𝑉𝑉 2
𝑑𝑑𝑑𝑑
+
+�
+ 𝑈𝑈 =0
2
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜌𝜌

Ecuación de Bernoulli para flujo no
estacionario a lo largo de una LdC para
un flujo ideal irrotacional y barotrópico
𝑑𝑑𝑑𝑑
con 𝑉𝑉𝑛𝑛 = 0 y 𝑉𝑉 = 𝑉𝑉𝑠𝑠 = = 𝑉𝑉
𝑑𝑑𝑑𝑑

Para flujo estacionario, irrotacional e incompresible con la
gravedad como única fuerza másica
𝑉𝑉 2 𝑝𝑝
Ecuación de Bernoulli
+ + 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝐶𝐶
2

𝜌𝜌

4

Importancia ecuación de Bernoulli
La ecuación deBernoulli es una de las ecuaciones más utilizadas en la
práctica y en muchas ocasiones de manera incorrecta (en aplicaciones
donde su validez es cuestionable)
La ecuación de Bernoulli se cita
en el libro de Michael Guillen
“Cinco ecuaciones que cambiaron
el mundo: el poder y belleza de las
matemáticas"

1.
2.
3.
4.
5.

Isaac Newton (Ley de la Gravitación Universal)
Daniel Bernoulli(Ley de la Presión Hidrodinámica)
Michael Faraday (Ley de la Inducción Eléctrica)
Rudolf Clausius (2da Ley de la Termodinámica)
Albert Einstein (Teoría de la Relatividad Especial)

Eminente matemático suizo que ganó varios premios anuales
de la Academia francesa por diferentes trabajos relacionados
con las mareas oceánicas y la teoría cinética de los gases

Daniel Bernoulli
(1700-1782)D. Bernoulli fue el primero en postular la
relación que existe entre la 𝑽𝑽 y la 𝒑𝒑 en un flujo

5

Coordenadas de LdC
También se puede deducir la ecuación de Bernoulli
utilizando las coordenadas de LdC

Líneas de corriente

Deducción ecuación de Bernoulli para LdC
Partícula fluida

LC

y

Despreciando las fuerzas viscosas

R

𝑑𝑑𝑑𝑑

𝛽𝛽

𝑑𝑑𝑑𝑑

2da Ley de Newton: a lolargo de una línea de corriente

Para la partícula fluida infinitesimal, los vectores unitarios son � y 𝑠𝑠̂ a lo largo y normal
𝑛𝑛
a la línea de corriente, y el volumen del elemento fluido es 𝑑𝑑V = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
La 2da Ley de Newton en la dirección de la línea de corriente (despreciando
las fuerzas viscosas):
𝜕𝜕𝑉𝑉
𝜕𝜕𝑉𝑉
𝐹𝐹𝑝𝑝_𝑠𝑠 + 𝑊𝑊𝑠𝑠 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑎𝑎 𝑠𝑠 = 𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
+ 𝑉𝑉
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑧𝑧𝑊𝑊𝑠𝑠 = −𝛾𝛾𝛾𝛾V sen 𝛽𝛽 = −𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌𝜌
𝑑𝑑𝑑𝑑

Fuerzas de presión (por serie de Taylor):

1 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑 𝜕𝜕𝑉𝑉
𝜕𝜕𝑉𝑉
−
− 𝑔𝑔
=
+ 𝑉𝑉
𝜌𝜌 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕

8

Ecuación de Benoulli a lo largo de LdC
 Se pueden rescribir los términos de velocidad y presión
𝑑𝑑𝑉𝑉 1 𝑑𝑑 𝑉𝑉 2
𝑉𝑉
=
𝑑𝑑𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑

Entonces,

0 (est.)
𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
(𝑛𝑛 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 en la LdC)

1 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
1 𝑑𝑑 𝑉𝑉 2
−
− 𝑔𝑔=
𝜌𝜌 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
2 𝑑𝑑𝑑𝑑

Y simplificando 𝑑𝑑𝑑𝑑 a lo largo de la LdC,

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑉𝑉 2
+
+ 𝑔𝑔𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0
𝜌𝜌
2

𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑉𝑉 2
+
+ 𝑔𝑔𝑧𝑧 = cte
�
𝜌𝜌
2

Ecuaciones válidas para flujo estacionario, sin
fricción, a lo largo de una LdC

9

Ecuación de Bernoulli
 Cuando el flujo es estacionario, no viscoso e incompresible

𝑉𝑉 2 𝑝𝑝
+ + 𝑔𝑔𝑔𝑔 = 𝐶𝐶
2
𝜌𝜌

Sujeta a las siguientes...