fluidos

Estática de Fluidos
Ecuación Básica
-190568580Considérese un pequeño elemento rectangular de fluido ocupando una posición arbitraria dentro de una masa de fluido, como se representa en la Fig. 2.1.
Designemos como p la presión actuante sobre el centro del elemento, entonces la presión promedio sobre las caras del cubo elemental se expresan en términos de p, como se señala en la Fig. 2.1. Porrazones de simplicidad, no se muestran las fuerzas superficiales o fuerzas de presión en la dirección x.
La fuerza resultante en la dirección y viene dada por la siguiente expresión:
δFy=p-∂p∂y∂y∂2δxδz-p+∂p∂yδy2δxδzO
δFy=-∂p∂yδxδyδzSimilarmente, en las direcciones x y z las fuerzas resultantes serán:
δFx=-∂p∂xδxδyδzδFz=-∂p∂zδxδyδzLa fuerza superficial resultante (o fuerza resultante debida ala presión) en el elemento infinitesimal se puede expresar vectorialmente de la siguiente forma:
δFs=δFxi+δFyj+δFzkO
δFs=-∂p∂xi+∂p∂yj+∂p∂zkδxδyδz(2.1)
Donde i, j y k son los vectores unitarios como se muestra en la Fig. 2.1. La cantidad en paréntesis de la ecuación anterior constituye el gradiente de presión, que podemos expresar como:
∂p∂xi+∂p∂yj+∂p∂zk=∇pEn consecuencia, la fuerza superficialresultante por unidad de volumen se puede expresar como:
δFsδxδyδz=-∇pPuesto que el eje z es vertical, el peso del elemento infinitesimal es:
-δWk=-γ dx dy dz kDonde el signo negativo indica que la fuerza debida al peso tiene la dirección negativa –z. Si aplicamos la segunda ley de Newton al elemento infinitesimal de fluido, tenemos que:
δF=δm× aDonde δF representa la fuerza resultante queactúa sobre el elemento, a es la aceleración del elemento, y δm representa al elemento de masa, el cual se puede escribir como ρ dx dy dz. De aquí se sigue que:
δF=δFs-δWk=δm×aO
-∇p δx δy δz-γδx δy δzδ k=ρ δx δy δz aY por lo tanto:
∇p-γk=ρa (2.2)
La ecuación 2.2 es la ecuación general del movimiento de un fluido en el que no existen esfuerzos cortantes, es decir, en un fluido que se encuentra enreposo. En este caso, a = 0 y la ecuación anterior queda como:
∇p-γk=0O expresada en términos de sus componentes:
∂p∂x=0 ∂p∂y=0 ∂p∂z=-y(2.3)
Estas ecuaciones muestran que la presión no depende de x o de y. Por lo tanto, cuando nos movemos desde un punto a otro punto a lo largo de un plano horizontal (cualquier plano paralelo al plano x-y), la presión se mantiene constante. Puesto que psólo depende de z, la última de las ecuaciones de (2.3) se puede expresar como una ecuación diferencial ordinaria:
dpdz=-γ(2.4)
Que es la ecuación fundamental de los fluidos en reposo y se utiliza para calcular el cambio de presión con el cambio de elevación. Esta ecuación señala que el gradiente de presión en la dirección vertical es negativo, i.e.: que la presión decrece a medida que nos movemoshacia la superficie en un fluido en reposo. No hay exigencias para que sea constante; en consecuencia, es válido tanto para fluidos con peso específico constante, como los líquidos, como para fluidos con pesos específicos que varían con la elevación, como el aire y otros gases. En términos generales, podemos considerar que el peso específico (o la densidad) de los líquidos es constante. En esecaso, la integración de la ecuación (2.4) es:
p1p2dp=-γz1z2dzDonde p1 y p2 son las presiones a las elevaciones verticales z1 y z2, como se ilustra en la Fig. 2.2.
Por tanto, de la ecuación anterior se tiene:
p1-p2=γz2-z1(2.5)
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Como se ilustra en la Fig. 2.2, la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente manera en forma compacta:
p1-p2=γh(2.6)
p1=γh+p2 (2.7)
Donde h es la distancia (z2-z1), que es la profundidad del fluido medida hacia abajo desde el nivel p2. Comúnmente, este tipo de distribución de presiones se conoce como distribución hidrostática, y la Ec.(2.7) señala que, para un fluido incompresible en...