form

FORMULAZO

1º PARCIAL
MAXIMOS Y MINIMOS (3D)
Sea:
P0(X0,Y0) Punto Crítico

Fxx
∆H =
Fyx
1. Si

∆H

2. Si

∆H

3. Si

∆H

4. Si

∆H

Po
Po
Po
Po

> 0 ,

Fxx Po < 0

Máximo Relativo

> 0 ,

Fxx Po > 0

Mínimo Relativo

< 0
=0

El criterio no decide (Se analiza F en torno de Po)

=0

∂w
∂y

=0

ξ=

1.
2.

⋅

(

d2r
dt 2

× d 3r
dt3

× d 2r
dt
2

dr
dt

=0

V =

Se resuelve el sistema
para obtener los puntos
críticos

− λI

)

×

)
)×

× d 2r
dt
2

λ1 , λ2 , λ3
λ1 , λ2 , λ3

Máximo Relativo

aT =

rot F = 0

Si:
+ Campo conservativo, campo irrotacional
+ Existe función potencial escalar:

dr
dt

F = gradφ
φ = ∫ Pdx ∪ ∫ Qdy ∪ ∫ Rdz

a=

T
dr
dt

=

a=

ds
dt

aN =dV
dt

MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES DE DOS O MAS
VARIABLES, SUJETAS A UNA O MÁS RESTRICCIONES

DIFERENCIAL

+ ECUACION DE LAGRANGE (Multiplicadores de Lagrange)
Sea

=

dV
dt

d2r
dt 2

ds
dt

d 2s
dt 2

 f x = λg x g(x,y) = 0
∇ f = λ ∇g 
 f y = λg y

T+

V2
R

aT =

N

J

r '⋅ r ' '
2

r'

dF =

Du F = ∇F ⋅ u

F ( x, y, z ) = 0
ds =s=∫

dt

dt

VECTORES UNITARIOS Y PLANOS A UNA CURVA
dT
dT
dr
ds
dt
dt
dT
dT
dr
ds
dt
dt

T=

dr
ds

=

N=

=
B

B =T ×N

Normal
Rectifica

T

R=

1
k

∴k =

dT
ds

= −ξ N

1
T=ξ

ξ=

Radio de Torsión

GRADIENTE DE FUNCION VECTORIAL

hv

∂u
∂x

i + ∂u j + ∂u k
∂y
∂z

∂v
∂x

i+

∂w
∂x

∂v
∂y

i+

j+

∂w
∂y

∂v
∂zj+

k

∂w
∂z

k

Eu =

∇u
Hu

Ev =

∇v
Hv

Ew =

∇w
Hw

eu = E u
2

ev = E v
ew = E w

hu = ( H u ) −1
hv = ( H v ) −1
hw = ( H w )

J

−1

eu = hu ∇u
e v = hv ∇v
e w = hw ∇w

( )= h h h
x, y , z
u ,v, w

u v w

a = ( a ⋅ e u )e u + ( a ⋅ e v ) e v + ( a ⋅ e w ) e w

F

+ Esféricas

Pz 

Qz 
Rz 


Ry

hw

TRANSFORMACIONESINVERSAS
+ Vectores normales a la superficie (u,v,w)

2

e ρ = (cos θ sen φ , sen θ sen φ , cos φ )
e θ = ( − sen θ , cos θ , 0 )

k mide el cambio
de dirección de la
curva

e φ = (cos θ cos φ , sen θ cos φ , − sen φ )
*

Fluido incompresible o campo solenoidal si:

div F = 0

e r = (cosθ , senθ ,0)
eθ = (− senθ , cosθ ,0)

∂ F ∂ F ∂ F
+
+
=0
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
2

≥0

+Cilíndricas

LAPLACIANO

2

dB
ds

J = ρ2sen h ρ = 1 hθ = ρ sen φ hφ = ρ
φ

divF = tr( gradF )

∇ F = ∇ ⋅ ∇F = div( grad F ) = 0

Radio de curvatura

TORSION (2º Formula Frenet-Serret)

dB
ds

2

r ⋅r = r = ρ
Py

∂r
∂v

∂r
∂w

eu = e v × e w e v = e w × eu e w = e u × e v

ρ= r = x +y +z

Qy

ew =

TRANSFORMACIONES ORTOGONALES

2

 Px

∇ F = Q x
 Rx
hu

H w = ∇w

gradF = ∇F

r
r

hw =

ev =

∂r
∂w

∂r
∂u

div F = ∇ ⋅ F = Px + Q y + Rz

CURVATURA DE UNA CURVA (1º Formula Frenet-Serret)

= kN

∇ρ =

×

xyz

DIVERGENCIA

N

Oscular

dT
ds

n=

u,v,w
x, y , z

x, y, z
u ,v, w

H v = ∇v

2

dr
dv

x, y , z
u,v,w

vol R
( ) = vol..R

H u = ∇u

VECTOR NORMAL A LA SUPERFICIE

dr
dueu =

∇w =

(ESCALAR)

∇ = ( ∂∂x , ∂∂y , ∂∂z )

FUNCIÓN VECTORIAL DE MODULO CONSTANTE
(FORMA UN CONO)
dr
dr
dr
dt
dt
dt

( ) = J( 1 )

+ Factores de escala y vectores base

Du F = (∇ P ⋅ u )i + (∇Q ⋅ u ) j + (∇ R ⋅ u ) k

ESCALAR

J

xy

J

∇v =

DERIVADA DIRECCIONAL

r = ( x )i + ( y ) j + ( z ) k
F ( x , y , z ) = ( P )i + (Q ) j + ( R ) k

Xw
Yw
Zw∇u =

∂P
∂P
∂P
dz
dy +
dx +
dP =
∂z
∂y
∂x
∂Q
∂Q
∂Q
dy +
dz
dQ =
dx +
∂x
∂y
∂z
∂R
∂R
∂R
dR =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

Para:

Sean:

=0

Lim ∆ F
∆z → 0 ∆z

d F = (dP )i + ( dQ ) j + (dR ) k

2º PARCIAL

r⋅

=

Lim ∆ F ∂ F
;
∆y → 0 ∆y
∂z

∂F
∂F
∂F
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z

La solución de este
sistema da los
puntos criticos

Fλ = g...