formuñario

ACADEMIA TAMARGO, S.L.

FORMULARIO Matemáticas II

(2º de Bachillerato)
ALGEBRA
MATRICES. DEFINICION: Se llama matriz de dimensión m x n a un conjunto de números reales

dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma:

 a11 a12

 a21 a22
A =  a31 a32

 ... ...

 am1 am2

... a1n 

... a2 n 
... a3n 

... ... 

... amn 

a13
a23
a33
...
am3TIPOS DE MATRICES: Matriz rectangular (matriz fila, matriz columna)

Matriz cuadrada ( Matriz triangular superior, Matriz triangular inferior,
Matriz triangular, Matriz diagonal, Matriz escalar, Matriz identidad, Matriz
nula)
RANGO DE UNA MATRIZ : Número de filas o columnas linealmente independientes. Es el orden del mayor
menor complementario distinto de cero.
OPERACIONES CON MATRICESMATRIZ TRASPUESTA (At)

 a11 a12 a13 


A =  a21 a 22 a 23 


a
a32 a33 
 31

Propiedades:

 a11 a21 a31 


=  a12 a22 a32 
A


a
a23 a33 
 13

t

1.-) (At)t = A
2.-) (A+B)t = At+Bt
3.-) (kA)t = kAt
4.-) (AB)t = BtAt
5.-) |At| = |A|

Matriz simétrica: A simétrica si At = A (aij=aji)
Matriz antisimétrica: A antisimétrica (o hemisimétrica)si At = -A (aij =-aji)

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MATRIZ OPUESTA (-A)

 a11 a12 a13 


A =  a21 a 22 a 23 


a
a32 a33 
 31


 − a11 − a12 − a13 


− A =  − a 21 − a 22 − a 23 


− a
− a 32 − a 33 
 31


PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (kA) = k(aij) = (kaij)

 a11 a12 a13 

A =  a 21 a22 a 23 


a

 31 a32 a33 
A ∈ Μ (m, n)

 k a11 ka12 k a31 


kA =  k a21 ka22 ka23 


 ka

 31 ka32 ka33 
(kA) ∈ Μ (m, n)

SUMA Y DIFERENCIA DE MATRICES (A±B) = (aij) ±(bij)

 a11 a12 a13 


A =  a 21 a22 a 23 


a
a32 a33 
31


A ∈ Μ (m, n)
 a11 ± b11

A ± B =  a 21 ± b21

a ± b
31
 31

 b11 b12 b13 

B =  b21 b22 b23 


b
b32 b33 
31


B ∈ Μ (m, n)
a12 ± b12
a 22 ± b22
a32 ± b32

a13 ± b13 

a 23 ± b23 

a 33 ± b33 


( A ± B ) ∈ Μ (m, n)

PRODUCTO DE MATRICES (AxB)

 a11 a12 a13 


A =  a 21 a22 a 23 


a
a32 a33 
31


A ∈ Μ (m, n)

 b11 b12 b13 


B =  b21 b22 b23 


b
b32 b33 
31


B ∈ Μ (n, p)

 a11b11 + a12 b21 + a13 b31
a11 b12 + a12 b22 + a13 b32
a11 b13 + a12 b23 + a13 b33 


AxB =  a21 b11 + a 22 b21 + a23 b31
+ a22 b22 + a23 b32
+ a22 b23 + a23 b33 
a 21 b12
a 21 b13


a b +a b +a b
a31 b12 + a32 b22 + a33 b32
a31 b13 + a32 b23 + a33 b33 
31 11
32 21
33 31


( AxB) ∈ Μ (m, p)
El producto de matrices no es conmutativo

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DETERMINANTES
REGLA DE SARRUS (Resolución de determinantes de 2º y 3er orden).

a11 a12

= a11 a22 - a12 a21

a21 a22
a11 a12 a13
a 21 a22 a 23 = a11 a 22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 - a11 a 23 a32 - a12 a 21 a33 - a13 a22 a31
a31 a32 a33

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.-

det(A) = det(At)det(F1,F2,…,kFi,…,Fn) = k. det(F1,F2,…,Fi,…,Fn)
det(F1,F2,…,Fi+Fi’,…,Fn) = det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) + det(F1,F2,…,Fi’,…,Fn)
det(A.B) = det(A).det(B)
det(F1,F2,…,Fi,…,Fj,…,Fn) = - det(F1,F2,…,Fj,…,Fi,…,Fn)
det(F1,F2,…,Fi,…,Fi,…,Fn) = 0
det(F1,F2,…,Fi,…,kFi,…,Fn) = 0
det(F1,F2,…,0,…,Fn) = 0
det(F1,F2,…,Fi,…,Fj,…,αFi+βFj,…,Fn) = 0
det(F1,F2,…,Fi,…,Fn) = det(F1,F2,…,aF1+bF2+Fi,…,Fn)
det(kA) = kn det(A)Menor complementario (αij) : El menor complementario del elemento aij de una matriz cuadrada A, de orden n,
es el determinante de la matriz cuadrada de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fila i y la columna j.
i+j
Adjunto (Aij) : Aij = (-1) .αij
MATRIZ ADJUNTA (Ad)

 a11 a12 a13 


A =  a21 a 22 a 23 


a
a32 a33 
31










d
A = 


...