Formulari_EDCV_v7

Formulari de l’assignatura Equacions Diferencials i C`
alcul Vectorial (versi´
o 7)
Grau de F´ısica de la Universitat de Barcelona
Equacions diferencials

Forma normal: y = f (x, y)

Equacions diferencials de primer ordre
Forma impl´ıcita: F (x, y, y ) = 0

Canvi: u = y/x

Separables: ψ1 (x)ϕ1 (y)dx = ψ2 (x)ϕ2 (y)dy

Equacions diferencials de variables separades i separables
Separades: ψ(x)dx =ϕ(y)dy
Equacions diferencials homog`enies (de grau 0)
y = f (x, y) = f (λx, λy) = λ0 f (x, y);
Equacions diferencials reductibles a homog`enies (de grau 0)
y =f

a1 x + b1 y + c1
a2 x + b2 y + c2

R

a) Si c1 = c2 = 0 l’equaci´o ´es homog`enia
b) Si c1 = 0 i/o c2 = 0:
1. Si les rectes es tallen en el punt (x0 , y0 ), fer els canvis de variables x = ξ + x0 , y = η + y0 ;
despr´es fer el canvi u =η/ξ
2. Si les rectes s´on paral·leles fer el canvi z = a1 x + b1 y; es converteix en equaci´o diferencial
de variables separables
Equacions diferencials lineals de primer ordre
y + p(x)y = q(x)
´ de variables separables: y = ce− p(x)dx
1. Si q(x) = 0, lineal homog`enia. Es
2. Si q(x) = 0, lineal completa. M`etode de variaci´
o de les constants:
R
a) y = ce− p(x)dx
b) c = c(x) i se substitueix enl’equaci´o completa per trobar la c(x)
Equacions diferencials de Bernouilli
y + p(x)y = q(x)y n
1. Si n = 0 o n = 1, obtenim una lineal completa o homog`enia, respectivament
2. Si n = 0 i n = 1 les redu¨ım a lineals dividint per y n , fent el canvi u = 1/y n−1 i multiplicant per (1 − n)
Equacions en diferencials totals o equacions diferencials exactes

N (x, y)dy + c(x); i despr´es M (x, y) =

∂M
∂N
=
∂y∂x

∂N
∂M
=
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, si M (x, y) i N (x, y) cont´ınues i derivables i
∂y
∂x
∂U
∂U
dx +
dy = M (x, y)dx + N (x, y)dy
U (x, y) = C;
dU (x, y) = 0 =
∂x
∂y
∂U (x, y)
1a opci´o: U (x, y) = M (x, y)dx + c(y); i despr´es N (x, y) =
∂y
∂U (x, y)
∂x
2a opci´o: U (x, y) =

Equacions en diferencials totals amb factor integrant
M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, si M (x, y) i N (x, y) cont´ınues iderivables i

1

El factor integrant μ(x, y) converteix μ(x, y)M (x, y)dx + μ(x, y)N (x, y)dy = 0 en exacta

∂(μM )
∂(μN )
∂μ
∂M
∂μ
∂N
Condici´
o d’integrabilitat:
=
; o an`alogament M
+μ
=N
+μ
∂y
∂x
∂y
∂y
∂x
∂x
∂N
1 dμ
1 ∂M
−
=
nom´es dep`en de x i μ
1. μ(x, y) = μ(x) si l’equaci´o
N ∂y
∂x
μ dx
1 ∂N
∂M
1 dμ
−
=
nom´es dep`en de y i μ
M ∂x
∂y
μ dy

2. μ(x, y) = μ(y) si l’equaci´o

Equacionsdiferencials de primer ordre no resoltes
F (x, y, y ) = 0

o pot ser de 2n grau i tenir dues solucions.
1. Si es pot a¨ıllar la y . Ser`a d’algun tipus ja vist, per`
uents:
2. Si no es pot a¨ıllar la y . Ens limitem als casos seg¨

a) Si falta la x, F (y, y ) = 0, i es pot a¨ıllar la y, fem el canvi y = P i donem el resultat en
forma param`etrica
b) Si falta la y, F (x, y ) = 0, i es pot a¨ıllar la x,fem el canvi y = P i donem el resultat en
forma param`etrica
Traject`
ories ortogonals

normal

= −1

dy
dx

tangent

1 + y (x0 )2

1 + y (x0 )2

n = 0, . . . , N − 1

n = 0, . . . , N − 1

Donada la fam´ılia de corbes a partir de l’equaci´
o diferencial F (x, y, y ) = 0, fem el diferencial i trobem
Les traject`ories ortogonals es troben a partir de:
dy
dx

L’equaci´o diferencial de la fam´ılia decorbes ortogonals ´es F (x, y, −1/y ) = 0
Problemes geom`
etrics
− y0 =
y(x0 )
y (x0 )

Equaci´o de la tangent: y − y0 = f (x0 )(x − x0 )
1
− f (x
(x − x0 )
Equaci´o de la normal: y
0)
Longitud de la tangent:
Longitud de la normal:

y(x0 )
y (x0 )

y(x0 )

Longitud de la subnormal: |y(x0 )y (x0 )|

Longitud de la subtangent:

Resoluci´
o num`
erica d’equacions diferencials de primer ordre

n = 0,. . . , N − 1

h n
[k + 2k2n + 2k3n + k4n ];
6 1

h
[f (xn , yn ) + f (xn + h, yn + hf (xn , yn ))];
2

yn+1 = yn + hf (xn , yn );

Per resoldre num`ericament equacions donades en la forma normal y = f (x, y)
M`etode d’Euler
y0 = y(a);

yn+1 = yn +

M`etode de Runge-Kutta RK2
y0 = y(a);

yn+1 = yn +

M`etode de Runge-Kutta RK4
y0 = y(a);

k1n = f (xn , yn )
h
h
k2n = f xn + , yn + k1n
2...