Formulario Edo

Resumen EDO - Control 1

Cap´
ıtulo 1 y 2

Ec. de Ricatti
y = P (t) + Q(t)y + R(t)y 2

EDO de Variables Separables
Sea y =

H(s)
G(t)

H(y) = G(t) + C ⇐
Con c.i. y =

g(t)
y y(t0 ) = y0
h(y)

=
=

y(t)
y0

2◦ Definimos z = y(t) − y1 (t) → y = z + y1

h(s)ds
g(t)dt

h(s)ds =

t
t0

3◦ Reemplazando y despejando z tenemos
z − (Q(t) + 2y1 (t)R(t))z = R(t)z 2(Bernoulli n = 2)

g(t)dt

t

y(t)

= G(t)

H(y)

1◦ y1 soluci´n de la edo
o

g(t)
, con g, h contnuas y h(y) = 0
h(y)

t0

y0

−→ H(y(t)) = G(t) + H(y0 ) + G(t0 )
C

Cap´
ıtulo 3

EDO Lineal de Primer Orden
Teo - Def {f1 (t), f2 , . . . , fn (t)} es l.i. ⇐⇒ Su Wronskiano asociado
f1
...
fn
f1
...
fn
=0
W (f1 , f2 , . . . , fn ) =
.
.
..
.
.
.
.
.

y+ P (t)y = f (t)
1◦ Multiplicamos por e

R

P (t)dt

R

2◦

R
d(y(t)e P (t)dt )
= f (t)e P (t)dt
dt

3◦ Integramos y dividimos por e
y(t) = Ce−

R

P (t)dt

+ e−

R

R

(n−1)

P (t)dt

P (t)dt

·

f1

.

f (t)e

R

P (t)dt

(n−1)

fn

EDOs Lineal de segundo orden homog´nea
e

dt

homog´nea
e

y + P (t)y + Q(t)y = 0 → y(t) = c1 y1 (t) + c2y2 (t)

particular

e−

R

P (t)dt

dt
2
y1 (t)
Obs En este m´doto se trabaja sobre la ec. normae
lizada.

EDO No Lineal de Primer Orden
y =−

...

Caso 1: y1 (t) conocido, y2 (t) = y1 (t) ·

M (t, y)
, M, N cont´
ınuas
N (t, y)

Cumplen M (st, sy) = sα M (t, y) y N (st, sy) = sα N (t, y)

Caso 2 (Coef. Ctes): ay + by + cy = 0.
1◦ CV: y = ut → u = −

u+

M (1,u)N (1,u)

Tanteo sols. emt .
Con lo que la ec ⇔ p(m) = am2 +bm+c = 0 → m1 , m2
Soluciones posibles:

t

2◦ Resolver ec. de variables separables con
−1
1
(1,u)
h(u) = u + M(1,u)
g(t) = −
N
t

a) m1 = m2 ∈

1

2

b) m1 = m2 ∈ R → y(t) = emt (c1 + c2 t)

3◦ Obtener u(t) y reemplazar en el cv.

c) m = α ± iβ → y(t) = eαt (c1 cos(βt) + c2 sin(βt))

Ec. de Bernoulli

Caso3 (Euler-Cauchy): at2 y + bty + cy = 0, tanteo
y = tα . Con lo q la ec ⇔ aα2 + (b − a)α + c = 0

y + P (t)y = f (t)y n → y −n y + P (t)y 1−n = f (t)
Usar cv. u(t) = y 1−n → u = (1 − n)y −n y queda una ec.
lineal de primer orden

Soluciones posibles:

u + (1 − n)P (t) u = (1 − n)f (t)
˜
P (t)

R → y(t) = c1em t + c2em t

a) α1 = α2 ∈

˜
f (t))

1

R → y(t) = c1tα + c2tα
1
2´
Pablo Estefo C. [pestefo@ing.uchile.cl]

Resumen EDO - Control 1

3◦ Aplicar anulador y calcular la nueva homog´nea
e
∗
yh = p(D)y = 0

b) α1 = α2 ∈ R → y(t) = c1 tα + c2 (ln(t))tα
c) α = u ± iv → y(t) = tu [c1 cos(v ln(t)) +
c2 sin(v ln(t))]

4◦ La forma de la sol. particular es la nueva homog´nea menos la homog´nea obtenida en 1◦
e
e
∗
yp = yh − yh

Obs A veces sirvehacer el cv λ = ln(t).

5◦ Reemplazamos yp (t) con sus coef. indet. en la EDO
y calculamos los coefs. igualando a g(t).

Edos lineales de orden n no homog´neas
e
Variaci´n de Par´metros
o
a
y + P (t)y + Q(t)y = f (t)
1◦ Hallar sols. homog´neas y1 , y2 (m´todos anteriores)
e
e

Cap´
ıtulo 4

◦

2 yp (t) = u1 (t)y1 (t) + u2 (t)y2 (t)

Transformada de Laplace
y1
y1

y2
y2u1
u2

0
f (t)

=

Def f (t) es de orden exponencial si ∃C > 0, M > 0, T >
0 tq.

◦

3 Usando Kramer
u1
u2

=

1
W (y1 , y2 )

4◦ Finalmente u1 = −
u2 =

y2
−y1

−y2
y1

0
f (t)

|f (t)| ≤ M eCt ,

y2 f (t)dt
y
W (y1 , y2 )(t)

∀t ≥ T

Def Transformada de Laplace

y1 f (t)dt
W (y1 , y2 )(t)

∞

L(f (t)) = F (s) ≡

M´todo de coeficientesindeterminados
e

e−st f (t)dt
0

Def Operador Diferencial
d
d2
dn
D ≡ , D2 = 2 , . . . , Dn = n . D es lineal
dt
dt
dt

Teo f (t) cont´
ınua por trozos y ord. exp. ⇒ admite TdL
∀s > C

an y (n) + an−1 y (n−1) + . . . + a1 y + a0 y = g(t)
⇐⇒
(an Dn + an−1 Dn−1 + . . . + a1 D + a0 I)y(t) = g(t)

Teo La TdL es cont´
ınua en intervalo (C, ∞)
Prop La TdL es lineal.

1◦ Obtener...