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Desigualdades
José H. Nieto (jhnieto@yahoo.com)

1. Introducción
Las desigualdades juegan un rol fundamental en matemática. Existen libros completos dedicados a su estudio, y en las competencias internacionales de problemas aparecen con frecuencia. Todo solucionista experto debe estar familiarizado con varias de ellas y con las técnicas generales para su manejo. En lo que sigue se supone queel lector domina las propiedades básicas de las desigualdades entre números reales. La desigualdad fundamental satisfecha por cualquier número real, y de la cual en cierto sentido se derivan todas las demás, es sencillamente

x2 ≥ 0,
con igualdad si y sólo si x = 0. Más en general

x2 + x2 + · · · + x2 + ≥ 0, 1 2 n
con igualdad si y sólo si x1 = x2 = · · · = xn .

2. Algunos ejemplossencillos
√ √ Si x e y son reales no negativos entonces ( x − y)2 ≥ 0, de donde se √ deduce que x − 2 xy + y ≥ 0 o bien x+y √ ≥ xy, 2
con igualdad si y sólo si x = y . La desigualdad anterior establece que la media aritmética A = (x + y)/2 de dos reales no negativos x, y es mayor o igual que su media geométrica √ G = xy . Otras medias importantes son la media armónica H = 2xy/(x+y) y la mediacuadrática C = (x2 + y 2 )/2 . Es fácil ver que C ≥ A ≥ G ≥ H 1

y que una cualquiera de las igualdades (y por lo tanto todas) se da si y sólo si x = y . Como segundo ejemplo consideremos la desigualdad

(x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ≥ 0,
la cual obviamente se cumple para reales cualesquiera x, y , z con igualdad si y sólo si x = y = z . De esta desigualdad se deduce que

x2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz+ zx,
con igualdad si y sólo si x = y = z . Veamos una aplicación.

Ejemplo 1. Si se sabe que la ecuación x3 + mx2 + x + n = 0 tiene raíces
reales positivas cuyos cuadrados suman 1, ¾cuánto valen m, n y las raíces?

Solución. Si las raíces son α, β y γ , entonces α2 +β 2 +γ 2 = 1 y αβ+βγ+γα = 1 (Vieta), entonces por la desigualdad anterior α = β =√ . Entonces 3α2 = 1 γ √ √ de donde α = 3/3,m = −3α = − 3 y n = −α3 = − 3/9.
Y ahora un ejemplo olímpico:

Ejemplo 2 (IMO 1961).

Sean a, b y c los lados de un triángulo y ∆ su área. Probar que √ a2 + b2 + c2 ≥ 4 3∆.

Solución. Para este problema hay numerosas soluciones, pero veamos que se puede resolver con los recursos más elementales. Si el triángulo fuese equiláte√ √ ro entonces su altura sería a 3/2 y su área a2 3/4, por lotanto se cumpliría la igualdad. Para un triángulo cualquiera supongamos que a sea el lado mayor y sea P el pie de la altura trazada desde el vértice A. Sea x = BP − a/2 √ (por lo tanto BP = a/2 + x y P C = a/2 − x). Sea y = ha − a 3/2 (de √ donde ha = y +a 3/2). La idea para introducir x e y es que estas cantidades representan la desviación del triángulo respecto a uno equilátero. Entonces, por elTeorema de Pitágoras aplicado a los triángulos ABP y AP C se tiene √ √ a a a2 + b2 + c2 − 4∆ 3 = a2 + ( + x)2 + ( − x)2 + 2h2 − 2a 3ha a 2 2 √ 3 2 2 = a + 2x + 2ha (ha − a 3) 2 √ √ 3 2 a + 2x2 + 2(a 3/2 + y)(−a 3/2 + y) = 2 3 3 2 a + 2x2 + 2y 2 − a2 = 2(x2 + y 2 ) ≥ 0. = 2 2 Esto prueba la desigualdad y de paso muestra que hay igualdad si y sólo si x = y = 0, lo que equivale a que el triángulo seaequilátero.
2

3. Algunas desigualdades importantes
Una desigualdad muy básica cuando se trabaja con números positivos y negativos es la llamada desigualdad triangular :

|x1 + x2 + · · · + xn | ≤ |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |.
La igualdad se da si y sólo si todos los xi no nulos son del mismo signo. La desigualdad entre las medias aritmética, geométrica, armónica y cuadrática se puedegeneralizar para n términos. Comencemos por las dos primeras.

3.1.

Desigualdad Aritmético-Geométrica (AG)
√ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n x1 x2 · · · xn n

Si x1 , x2 , . . . , xn son números reales no negativos entonces

y la igualdad se da solamente si x1 = x2 = · · · = xn . Existen muchas demostraciones de esta importante desigualdad. Una de las más elegantes es la siguiente: Sea A la...