Fourierquim

Cap´ıtulo 5
Series de Fourier
5.1.

Introducci´
on

La teor´ıa de las series de Fourier se origina a mediados del siglo XVIII
en relaci´on con el estudio de la cuerda vibrante. En 1753 Daniel Bernoulli
defend´ıa la tesis de que, para una amplia clase de funciones f (x), era posible
expresar f (x) como una serie de senos
an sen nx.
Sin embargo, otros matem´aticos de la ´epoca (como D’Alambert yEuler)
pensaban que esto no era posible. Posteriormente, Fourier (1807) usa estos
desarrollos de forma natural en el estudio de la conducci´on del calor, pero
no aporta demostraciones. Dirichlet (1829) fue el primero en probar de una
forma rigurosa que la serie de Fourier converge hacia la funci´on, si ´esta es
diferenciable a trozos.
Esta disputa y la obra de Fourier, Theorie Analytique de laChaleur
(1822), dieron un gran impulso a la clarificaci´on del concepto de serie y al
desarrollo moderno del concepto de funci´on.
Para motivar el estudio de las series de Fourier, vamos a tratar de resolver
un problema de contorno relativo a la ecuaci´on del calor por el m´etodo de
separaci´on de variables
175

Se demuestra que, si se quiere encontrar la temperatura T (x, t), para
cada instante t >0, en cada punto de una barra delgada de longitud L,
conocida la temperatura inicial T (x, 0) = f (x) y sabiendo que se mantiene
la temperatura igual a 0◦ en los extremos de la barra, debemos resolver el
problema de contorno siguiente:




2

∂T
∂t

= k ∂∂xT2
T (0, t) = T (L, t) = 0, 0 < x < L, t > 0


T (x, 0) = f (x).
El m´etodo de separaci´on de variables se basa en la b´
usqueda de unasoluci´on de la ecuaci´on y de las condiciones de contorno con la forma u(x, t) =
X(x) · τ (t). Las funciones desconocidas X(x) y τ (t) pueden determinarse a
partir de las igualdades
X
X

τ
= kτ
X(0) = X(L) = 0.
τ
La primera igualdad obliga a que las funciones XX y kτ
deben ser constantes.
Por tanto, existe una constante real −λ de tal suerte que

X
τ
=
= −λ.
X
kτ
Para encontrar X(x) y τ (t), debemosresolver los dos problemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias siguientes:
X = −λX
X(0) = X(L) = 0
y τ = −λkτ . Este segundo tiene la soluci´on inmediata τ (t) = e−λkt . Para
resolver el primero, escribimos la ecuaci´on caracter´ıstica de su ecuaci´on diferencial, r2 = −λ. Si fuese λ < 0, la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial
vendr´ıa dada por
√
√
X(x) = c1 e( −λ)x + c2 e−( −λ)x ,176

en cuyo caso no habr´ıa forma de conseguir que X(0) = X(L) = 0. Por tanto,
√
√
debe ser necesariamente λ > 0. Entonces X(x) = c1 cos( λ)x + c2 sen( λ)x
que, por las condiciones de contorno X(0) = X(L) = 0, se reduce a
X(x) = sen

nπx
L

(λ = (nπ/L)2 ).
Vemos, pues, que el problema de contorno
X = −λX
X(0) = X(L) = 0
s´olo tiene soluci´on no trivial para λ = (nπ/L)2 (n ∈ N). Se dir´a que sonlos
autovalores del problema de contorno. La soluci´on no trivial
Xn (x) = sen

nπx
L

que corresponde a cada autovalor λn = (nπ/L)2 se llama la autofunci´on
correspondiente.
Volviendo a la funci´on T (x, t), el m´etodo de separaci´on de variables nos
ha permitido encontrar soluciones de la ecuaci´on del calor (que verifican las
condiciones de contorno) de la forma
nπx
(n ∈ N).
L
Dada la linealidaddel problema, tambi´en es soluci´on cualquier combinaci´on
lineal de funciones de este tipo
2

T (x, t) = e−kt(nπ/L) · sen

N
2

an e−kt(nπ/L) · sen

T (x, t) =
n=1

nπx
.
L

Si nos olvidamos de la cuesti´on de la convergencia, resulta f´acil probar que
una suma infinita
∞
2

an e−kt(nπ/L) · sen

T (x, t) =
n=1

177

nπx
L

tambi´en es soluci´on de la ecuaci´on del calor (y de las condiciones decontorno).
Si queremos que esta u
´ltima funci´on verifique tambi´en la condici´on inicial
T (x, 0) = f (x), los coeficientes an deben escogerse de forma que se cumpla
la igualdad
∞

f (x) =

an sen
n=1

nπx
.
L

Es decir, la funci´on f (x) debe poder representarse como una suma de senos.
Por tanto, se podr´a resolver el problema de contorno inicial en cuanto sepamos expresar una funci´on dada,...