Fracciones continuas

1

FRACCIONES CONTÍNUAS
Sea cualquier número real. Designamos con la letra el mayor entero que no supere a . Si no es entero, se tiene ; 1. Exactamente igual, si , no son enteros, se tiene a2 = q2 +

tenemos el siguiente desarrollo de 1 a = q1 + , 1 q2 + 1 q3 + 1 ⋱+ 1 qn−1 + an Si es racional o irracional, todos los números son racionales o irracionales, con lo cual el proceso puedeprolongarse indefinidamente. Si es racional, y puede expresarse mediante una fracción racional irreducible con denominador positivo , el proceso indicado será finito y podrá efectuarse mediante el Algoritmo de Euclides, esto es, a = bq1 + r1 , con 0 ≤ r1 < b. b = r1q2 + r2 , con 0 ≤ r2 < r1 . r1 = r2q3 + r3 , con 0 ≤ r3 < r2 . ⋯⋯⋯⋯ rn−1 = rn−1qs + rn , con 0 ≤ rn < rn−1 . rn−1 = rn qn−1 + rn . donde q1 ,q2 , q3 ,… , qn , que se llaman cocientes incompletos, son números naturales distintos de cero, salvo q1 , que puede ser cero y pueden expresarse entre paréntesis como [q1 , q2 , q3 ,… , qn ]. Se llaman reducidas a los valores que resultan de efectuar las operaciones parciales, esto es, 1 1 1 r1 = q1 ; r2 = q1 + ; r3 = q1 + ,....., rn = q1 + 1 q2 1 q2 + a2 + q3 1 q3 + 1 ⋱+ qn Fácilmente se hallauna ley muy simple de formación de las reducidas, observando que 1 se obtiene de de sustituyendo los números por en la expresión
literal . En efecto, haciendo para unificar

1 1 ; a > 1; ⋯; an−1 = q2 + ; an > 1, en virtud de lo cual a3 3 an en fracción continua:

1

0, y escribiendo

para

designar A con la notación y B con la notación , podemos representar, sucesivamente, las fraccionesreducidas en la forma siguiente: 1 q1 + q1 P1 q2 q2q1 + 1 q2 P1 + Po P r1 = = , r2 = = = = 2 , q2 ⋅ 1 + 0 q2Q1 + Qo Q2 1 Q1 1   (q2 + 1 P1 + Po    q3  q P +P P   q P +P P r3 = = 3 2 1 = 3 , ⋯, rs = n n−1 n−2 = n q3Q2 + Q1 Q3 qnQn−1 + Qn−2 Qn   q + 1 Q + Qo      2 q3  1

por tanto, los numeradores y denominadores de las fracciones reducidas los podemos calcular sucesivamentepor las formulas,

Rafael Parra Machío

2 Pn = qn Pn−1 + Pn−2 , Qn = qnQn−1 + Qn−2 . Veamos un ejemplo:

26 = 3+ 7

1 1+ 1 2+ 1 2+ 1 2

= [3,1,2,2]

donde las reducidas son,

1 1 1 2 9 + 2 11 r1 = 3 . r2 = 3 + = 4 . r3 = 3 + = 3+ = 3+ = = 2 +1 3 3 3 3 1
2 2 y, finalmente,

r4 = 3 +

1 1+ 2+ 1 1 2+ 1 2

= 3+

1 1+ 1 5 2

= 3+

1 1+ 2 5

= 3+

1 5 26 = 3+ = . 7 7 7 5El procedimiento expuesto recoge la ortodoxia más tradicional o científica del cálculo de fracciones continuas, sin embargo en la práctica, la aplicación del Algoritmo de Euclides nos permite una solución mucho más sencilla. Veamos otro ejemplo: Utilizando el Algoritmo de Euclides, calculamos los cocientes incompletos,

972 = 421 ⋅ 2 + 130 421 = 130 ⋅ 3 + 31 130 = 31 ⋅ 4 + 6

972 =[2,3,4,5,6] 421

31 = 6 ⋅ 5 + 1 6 = 1⋅ 6 + 0 Obtenemos las reducidas por el procedimiento tradicional,

r1 = 2 =

2 1

r2 = 2 + r5 =

1 7 = 3 3

r3 =

4 ⋅ 7 + 2 30 = 4 ⋅ 3 + 1 13

r4 =

5 ⋅ 30 + 7 157 = 5 ⋅ 13 + 3 68

6 ⋅ 157 + 30 972 = 6 ⋅ 68 + 13 421
5 6 972 421

y ahora, las reducidas utilizando el Algoritmo de Euclides,
1 2 3 7 3 3 4 30 13 4 5 157 68

an
01 10

2 2 1Hemos operado de la siguiente forma,

1 ⋅ 2 + 0 2 2 ⋅ 3 + 1 7 7 ⋅ 4 + 2 30 30 ⋅ 5 + 7 157 157 ⋅ 6 + 30 972 . . . = . = . = = = 0 ⋅ 2 + 1 1 1 ⋅ 3 + 0 3 3 ⋅ 4 + 1 13 13 ⋅ 5 + 3 68 68 ⋅ 6 + 13 421

Rafael Parra Machío

3

Si relacionamos

157 972 con , esto es, 421⋅ 157 − 972 ⋅ 68 = 1, obtenemos una diferencia que 68 421

es el 972,421 1 421 157 972 68 y también conocida como Identidad deBézout, herramienta imprescindible para la resolución de ecuaciones tanto modulares como diofánticas. Resolvemos la ecuación 161x + 182 y = 5957. Según la Identidad de Bézout, dados dos números naturales a y b donde el , , existen dos números enteros s y t tales que d = as + bt , es decir, mcd ( a, b) = as + bt. Etienne Bézout (1730-1783), militar y matemático francés, seguidor y ferviente...