Fracciones parciales

Integraci´n por fracciones o parciales
El cociente de dos polinomios se denomina funci´n racional. La derio vaci´n de una funci´n racional conduce a una nueva funci´n racional que o o o puede obtenerse por la regla de la derivada de un cociente. Por otra parte, la integraci´n de una funci´n racional puede conducirnos a funciones que no o o son racionales1 por ejemplo: dx = ln |x| + C y x dx =arctan (x) + C 1 + x2

ahora daremos un m´todo para calcular la integral de una funci´n racional e o cualquiera y se ver´ que el resultado puede expresarse siempre por medio de a polinomios, funciones racionales, arco tangentes y logaritmos. La idea del m´todo es descomponer la funci´n racional en fracciones e o simples que pueden calcularse por medio de t´cnicas ya conocidas (de dee be realizarla descomposici´n en fracciones parciales de la funci´n racional o o considerada). o Supongamos entonces que f (x) es una funci´n racional, si es impropia g(x) podemos simplemente dividir y nos queda f (x) R (x) = Q (x) + g (x) g (x) donde Q es un polinomio (el cociente de la divisi´n) y R (x) es el resto de o la divisi´n (note que el grado del resto es menor que el del divisor g (x)), o de estaforma toda funci´n racional se puede escribir como la suma de un o polinomio con una funci´n racional propia. o
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¿C´mo puede mostrarse que determinada funci´n no es racional? o o

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Del curso de complementos de mat021 sabemos que toda funci´n racional o propia se puede descomponer en suma de fracciones de la forma A (αx + β)k y (ax2 Bx + C + bx + c)m (0.0.2) (0.0.1)donde k, m ∈ N, a, b, c, A, B, C, α, β son constates y b2 − 4ac < 0 en (0.0.2) lo que nos dice que es una cuadr´tica sin ra´ a ıces reales. Luego el calculo de la integral de una funci´n racional, se reduce al o calculo de integrales de polinomios (que ya sabemos calcular) y a calculo de integrales de la forma Adx (αx + β)k y (Bx + C) dx (ax2 + bx + c)m aprenderemos a calcular este tipo deintegrales. Ejemplo 1. Consideremos la integral x2 la funci´n racional o 5x + 3 + 2x − 3 dx

5x + 3 x2 + 2x − 3 es propia (el grado del denominador es mayor que el del denominador) podemos descomponerla en suma de fracciones parciales, para ello necesitamos conocer las ra´ ıces reales del denominador, como x2 + 2x − 3 = (x + 3) (x − 1) se sigue que 5x + 3 5x + 3 = x2 + 2x − 3 (x + 3) (x − 1)Apuntes de Clases

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luego por el m´todo de las fracciones parciales, existen constantes A y B e tales que A B 5x + 3 = + x2 + 2x − 3 x+3 x−1 para determinar las constantes podemos utilizar alguno de los m´todos coe nocidos, por ejemplo multiplicar ambos lados de la expresi´n por el denoo minador 5x + 3 = A (x − 1) + B (x + 3) evaluando la igualdad enx = 1 obtenemos 8 = A · 0 + 4B =⇒ B = 2 evaluando la igualdad en x = −3 se obtiene −15 + 3 = A (−4) + B · 0 =⇒ A = 3 se sigue 5x + 3 3 2 = + x2 + 2x − 3 x+3 x−1 luego x2 5x + 3 + 2x − 3 dx = 3 2 + dx x+3 x−1 dx dx +2 = 3 x+3 x−1 = 3 ln |x + 3| + 2 ln |x − 1| + C

el procedimiento utilizado en este ejemplo es aplicable cuando el polinomio del denominador posee tantas ra´ ıces reales como el gradodel polinomio y todas las ra´ ıces distintas. Ejemplo 2. Calcular (2x − 1) dx (x − 1) (x − 2) (x − 3) Como ya conocemos las ra´ ıces del denominador, efectuamos la descomposici´n en fracciones parciales: o A B C (2x − 1) = + + (x − 1) (x − 2) (2x − 3) x − 1 x − 2 2x − 3

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y aplicamos alguna t´cnica que nos permita encontrarlos valores de las e constantes, por ejemplo multiplicar por el denominador 2x − 1 = A (x − 2) (2x − 3) + B (x − 1) (2x − 3) + C (x − 1) (x − 2) evaluando tal igualdad en x = 1 obtenemos 2 − 1 = A (1 − 2) (2 − 3) + B · 0 + C · 0 as´ ı 1 = A (−1) (−1) =⇒ A = 1 evaluando en x = 2 se obtiene 4 − 1 = A · 0 + B (2 − 1) (4 − 3) + C · 0 as´ ı 3=B y finalmente, evaluando en x =
3 2

se obtiene 3 −1 2...