Fracciones Parciales

Fracciones Parciales
Fracciones Propias e Impropias Definición 1 Se dice que una función racional P (x) es una fracción propia, si el grado del Q(x) polinomio P (x) es menor que el grado del polinomio Q(x). En caso contrario, es decir, si el grado de P (x) es mayor o igual al de Q(x), la fracción se llama impropia. Toda fracción impropia se puede expresar, efectuando la división, como la suma deun polinomio mas una fracción propia. Es decir, P (x) N1 (x) = {polinomio} + Q(x) Q(x) Caso 1 El denominador q(x) es un producto de factores lineales distintos. Esto significa que podemos escribir Q(x) = (a1 x + b1 )(a2 x + b2 ) · · · (ak x + bk ) en donde no hay factor que se repita. En este caso, existen constantes A1 , A2 , · · · , Ak tales que P (x) A1 A2 Ak = + + ··· + Q(x) a1 x + b1 a2 x + b2ak x + bk Ejemplo 7x + 3 + 3x − 4 Descomponer en fracciones parciales la fracción:

1.

x2

Solución Tenemos que el denominador se puede descomponer en factores simples como sigue: x2 + 3x − 4 = (x + 4)(x − 1) Luego la descomposición en fracciones parciales es: 7x + 3 7x + 3 A B = = + + 3x − 4 (x + 4)(x − 1) x+4 x−1

x2

Para encontrar los valores de A y B, multiplicamos la igualdad por(x + 4)(x − 1), obteniendo 7x + 3 = A(x − 1) + B(x + 4) desarrollando se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones A+B = 7 −A + 4B = 3 Por lo que la fracción original queda: 1 ⇒ A = 5, B = 2

x2 x2 + 2x − 1 2x3 + 3x2 − 2x

5 2 7x + 3 == + + 3x − 4 x+4 x−1

2.

Solución Se tiene que el denominador se puede factorizar como sigue: 2x3 + 3x2 − 2x = x(2x2 + 3x − 2 = x(2x − 1)(x + 2) Luego,la descomposición en fracciones parciales es: x2 + 2x − 1 A B C = + + x(2x − 1)(x + 2) x 2x − 1 x + 2 multiplicando ambos lados de la igualdad por el factor común, y luego resolviendo la ecuación, se obtiene x2 + 2x − 1 = A(2x − 1)(x + 2) + Bx(x + 2) + Cx(2x − 1) con 1 1 1 A= , B= y C=− 2 5 10 así
1 1 −1 x2 + 2x − 1 5 dx = 2 + + 10 2x3 + 3x2 − 2x x 2x − 1 x + 2

Caso 2 El denominador q(x) es unproducto de factores lineales, algunos de los cuales se repiten. Si Q(x) tiene un factor lineal repetido k veces de la forma (a1 x + b1 )k , entonces la descomposición en fracciones parciales contiene k términos de la forma: A1 A2 Ak + + ··· + a1 x + b1 (a1 x + b1 )2 (a1 x + b1 )k donde A1 , A2 , · · · , Ak son constantes. Ejemplo Descomponer en fracciones parciales:

1.

5x2 − 36x + 48 x(x −4)2 Solución La descomposición en fracciones parciales es: 5x2 − 36x + 48 A B C + = + 2 x(x − 4) x (x − 4) (x − 4)2

2

multiplicando ambos miembros de la igualdad por el denominador común 5x2 − 36x + 48 = A(x − 4)2 + Bx(x − 4) + Cx obteniendo el sistema: A+B = 5 −8A − 4B + C = −36 16A = 48 Luego: 5x2 − 36x + 48 3 2 4 = + − 2 x(x − 4) x (x − 4) (x − 4)2 x4 − 2x2 + 4x + 1 x3 − x2 − x + 1Solución Comenzaremos por dividir los polinomios 4x x4 − 2x2 + 4x + 1 =x+1+ 3 3 − x2 − x + 1 2−x+1 x x −x luego, factorizando el polinomio q(x) = x3 − x2 − x + 1 resulta x3 − x2 − x + 1 = (x − 1)2 (x + 1) Por lo tanto, su descomposición en fracciones parciales es: 4x A B C = + + 2 (x + 1) 2 (x − 1) x − 1 (x − 1) x+1 del cual de obtiene: A = 1, B = 2 y C = −1, de modo que 1 2 1 x4 − 2x2 + 4x + 1 =x+1+ +− x3 − x2 − x + 1 x − 1 (x − 1)2 x + 1 Caso 3 El denominador q(x) contiene factores cuadráticos irreductibles, ninguno de los cuales se repite. Si Q(x) tiene un factor cuadrático no repetido de la forma ax2 + bx + c, en donde, b2 − 4ac < 0, entonces la descomposición en fracciones parciales contiene un término de la forma: Ax + B ax2 + bx + c donde A y B son constantes. Ejemplo Descomponer enfracciones parciales:

de donde

A = 3, B = 2, C = −4

2.

3

1.

4x2 − 8x + 1 x3 − x + 6 Tenemos que 4x2 − 8x + 1 4x2 − 8x + 1 A Bx + C = = + 2 3−x+6 2 − 2x + 3) x (x + 2)(x x + 2 x − 2x + 3 multiplicando por el común denominador: 4x2 − 8x + 1 = A(x2 − 2x + 3) + Bx + C(x + 2) obteniendo el sistema A+B = 4 −2A + 2B + C = −8 3A + 2C = 1 Por lo tanto, 4x2 − 8x + 1 3 x−4 = + 2 3−x+6 x x +...