Fracciones parciales

3.0

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foro matemático

El m´ todo de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en suma de fracciones
e
m´ s simples. Se aplica frecuemente en el c´ lculo de integrales, de sumatorias, o tambi´ n, de transformadas
a
a
e
´ ltima, mi motivaci´ n a redactar una t´ cnica que considero r´ pida, y por lo tanto muy util
´
de Laplace, esta u
oe
a
e
para (al menos para estas), como para no compartirla con la comunidad FMAT.cl. El m´ todo general se
trabajar´ en dos secciones, con ejemplos y algunos ejercicios propuestos. La base matem´ tica requerida es
a
a
el conocimiento del c´ lculo de l´mites y derivadas de polinomios.
a
ı
1. Reduciendo polos simples
Desarrollamos ahora un m´ todo para determinar las constantes C1 , C2 ,C3 , de la expansi´ n en fracciones
e
o
A(s)
parciales. Comenzamos con el cociente de dos polinomios f (s) =
, (1.1), donde B(s) es de mayor
B(s)
grado que A(s) y factorizable en n ra´ces complejas α1 , α2 , . . . , αn , todas distintas, entonces tenemos
ı
B(s) = (s − α1 )(s − α2 ) · · · (s − αn ), (1.2). La expansi´ n en fracciones parciales toma la forma f (s) =
o
A(s)
C1
C2
Cn
=+
+ ··· +
, (1.3) y diremos que f (s) tiene n polos simples, llamados,
B(s)
s − α1
s − α2
s − αn
s = α1 , α2 , . . . , αn .
Para determinar las constantes Ck , multiplicamos a ambos lados la ecuaci´ n (1.3) por (s − αk ) y tomamos
o
(s − ak ) A(s)
, (1.4).
el l´mite cuando s −→ αk . Esta operaci´ n da como resultado Ck = l´m
ı
o
ı
s→ak
B(s)
Ejemplo 1.1: Expandir en fraccionesparciales f (s) =

s+1
.
s(s − 2)(s + 3)

C1
Soluci´ n: Reconocemos que los Polos son 0, 2 y −3. Nuestra expansi´ n tomar´ la forma f (s) =
o
o
a
+
s
C2
C3
+
. De la ecuaci´ n (1.4), tenemos que
o
s−2 s+3
1
s+1
=− ,
s→0 (s − 2)(s + 3)
6
s+1
3
= l´m
ı
= ,
s→2 s(s + 3)
10
2
s+1
=− ,
= l´m
ı
s→−3 s(s − 2)
15

C1 = l´m
ı
C2
C3

1 1
3
1
2
1
por lo que laexpansi´ n en fracciones parciales queda como f (s) = − · +
o
·
−
·
.
6 s 10 s − 2 15 s + 3

1

Santiago, Chile

FMAT.cl

Ejemplo 1.2: Expandir en fracciones parciales f (s) =
Soluci´ n: Notamos que f (s) =
o
f (s) =

s(s2

1
.
+ ω2)

1
, donde i2 = −1, entonces, la expansi´ n toma la forma
o
s(s + iω)(s − iω)

C1
C2
C3
+
+
. De la ecuaci´ n (1.4), tenemos que
os
s − iω s + iω

1
1
= 2,
s→0 s2 + ω 2
ω
1
1
= l´m
ı
= − 2,
s→iw s(s + iω)
2ω
1
1
= − 2,
= l´m
ı
s→−iw s(s − iω)
2ω

C1 = l´m
ı
C2
C3

luego, la expansi´ n en fracciones parciales es
o
f (s) =

1
1
1
1
1 1
· − 2·
− 2·
.
2 s
ω
2ω s − iω 2ω s + iω

´
Esta expresi´ n con n´ meros complejos es muy util para transformadas de Laplace. De todas formas, es
ou
posible eliminar esa unidad imaginaria sumando las fracciones que la contienen. Puesto que
−

1
1
1
1
1
s
·
− 2·
=− 2 · 2
,
2 s − iω
2ω
2ω s + iω
ω s + ω2

nuestra expansi´ n se puede ver tambi´ n como f (s) = −
o
e

1
s
1 1
· − 2· 2
.
2 s
ω
ω s + ω2

s2 + 1
Ejemplo 1.3: Expandir en fracciones parciales f (s) =
.
(s − 1)(s2 + 2s + 5)
Soluci´ n: Notamos ques2 + s + 1 tiene ra´ces complejas. Si completamos cuadrados, tenemos que TEX:
o
ı
2
2
s + 2s + 5 = (s + 1) + 4, y haciendo un cambio de variables s′ = s + 1, ω = 2, tenemos que s2 + 2s + 5 =
C1
C2
C3
s′2 + ω 2 . Entonces la expansi´ n en fracciones parciales se ver´ como f (s) =
o
a
+ ′
+ ′
,y
s − 1 s − iω s + iω
procediendo al igual que en el Ejemplo 1.2 se puede obtener laexpansi´ n requerida, que la dejamos como
o
ejercicio. El lector se dar´ cuenta que luego de obtener la expansi´ n, obtendr´ la representaci´ n en R como
a
o
a
o
se hizo en el Ejemplo 1.2, y aquello tomar´a bastante trabajo, por lo que el m´ todo se hace tedioso para este
ı
e
tipo de factores.
Propuesto 1.1: Pruebe que la ecuaci´ n (1.4) puede escribirse como Ck =
o

2

d B(s)
A(ak )...