Fracciones Parciales

Z

5x2 +18x!1
(x+4)2 (x!3) dx

Para resolver esta integral usaremos el mÈtodo de Fracciones Parciales
5x2 +18x!1
(x+4)2 (x!3)

=

A(x+4)

+

B
(x+4)2

+

C
x!3

=

A(x+4)(x!3)+B(x!3)+C(x+4)2
(x+4)2 (x!3)

Desarrollando el numerador y agrupando tÈrminos
A(x +4)(x ! 3) + B(x ! 3) + C(x + 4)2 =
= 16C ! 3B ! 12A + Ax + Bx + 8Cx + Ax2 + Cx2
= 16C ! 3B ! 12A + (A + B + 8C)x + (A + C)x2
Igualamosdenominadores
5x2 + 18x ! 1 = 16C ! 3B ! 12A + (A + B + 8C)x + (A + C)x2
y obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

5=A+C

18 = A + B + 8C

!1 =16C ! 3B ! 12A
Despejando A de la primera ecuaciÛn obtenemos

A=5!C
Sustituimos en la segunda ecuaciÛn y obtenemos

18 = (5 ! C) + B + 8C = 5+ B + 7C
Despejamos B

B = 18 ! 5 ! 7C = 13 ! 7C
Y sustituimos en la tercera ecuaciÛn del sistema de ecuaciones lineales
1

!1 = 16C ! 3B !12A
!1 = 16C ! 3(13 ! 7C) ! 12(5 ! C) = 49C ! 99
Por lo tanto

!1 + 99 = 49C
98 = 49C
98
49

=C

C=2
Sustituimos y obtenemos

B = 13! 7(2) = 13 ! 14 = !1
A = 5 ! (2) = 3

Por lo tanto nuestra integral queda de la siguiente forma

R
=

5x2 +18x!1
(x+4)2 (x!3) dx

R3
(x+4) dx+

R

= 3 ln jx + 4j +

=

R

A
(x+4)

+

!1
(x+4)2 dx+
1
x+4

R

B
(x+4)2

2
x!3 dx

+

C
x!3 dx

=R

3
(x+4)

+

!1
(x+4)2

!1

= 3 ln jx + 4j+(x + 4)

+ 2 ln jx ! 3j + c

2

+

2
x!3 dx

=

+2 ln jx ! 3j+c