FTDelaCadena

CAPÍTULO

6
Reglas de derivación

1

6.2 Regla de la cadena
En las reglas básicas de derivación se aplican fórmulas apropiadas para calcular las derivadas de las
f
funciones f C g (suma), f g (diferencia), fg (producto) y (cociente). Pero no se presentó en esa
g
sección una regla que nos diga cómo calcular la derivada de una composición de funciones; esto es,
no sabemos cómo calcular la derivadade f ı g (g compuesta con f o bien g seguida de f ).
Es, precisamente, la regla de la cadena la que nos dice cómo obtener la derivada de y D .f ı g/.x/.

Regla de la cadena:

x

g

u D g.x/

f

y D f .u/

f ıg

1

canek.azc.uam.mx: 22/ 5/ 2008

1

y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/

2

Cálculo Diferencial e Integral I

Si u D g.x/ es una función derivable en x0 , donde u0 D g.x0 / y si y D f .u/ es unafunción derivable
en u0 , entonces la función y D .f ı g/.x/ es derivable en x0 :
.f ı g/ 0.x0 / D f 0 .u0 /g 0 .x0 / D f 0 Œg.x0 / g 0 .x0 / :
H En la demostración de esta regla desempeña un papel relevante el comportamiento de la función
u D g.x/ cuando x está cerca de x0 , ya que si existen puntos x cerca de x0 tales que g.x/ D g.x0 /,
entonces la diferencia g.x/ g.x0 / D 0 genera problemas.
Poreso en esta demostración suponemos que g.x/ ¤ g.x0 / para x cerca de x0 y x ¤ x0 .
Sea .x/ D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D f .u/ con u D g.x/,
0

.x0 / D lím

x!x0

.x/
x

.x0 /

.f ı g/.x/
x!x0
x

D lím

x0

.f ı g/.x0 /
f Œg.x/
D lím
x!x0
x0
x

Se multiplica y divide por el número diferente de cero g.x/
0

.x0 / D lím

x!x0

D lím

x!x0

f Œg.x/
x
f Œg.x/
g.x/

f Œg.x0 /
:
x0

g.x0 /:

f Œg.x0 /g.x/
x0
g.x/
f Œg.x0 / g.x/
g.x0 /
x

g.x0 /
D
g.x0 /
g.x0 /
:
x0

(*)

Pero la derivabilidad de g en x0 asegura la continuidad de g en x0 .
Luego, cuando x ! x0 , sucede que g.x/ ! g.x0 /; o sea que u ! u0 , cuando x ! x0 .
Volviendo a . / vemos
0

f Œg.x/ f Œg.x0 /
g.x/ g.x0 /
lím
D
x!x0
x!x0
g.x/ g.x0 /
x x0
g.x/ g.x0 /
f .u/ f .u0/
lím
D
D lím
x!x0
u!u0
u u0
x x0
D Œf 0 .u0 /Œg 0 .x0 / Df 0 Œg.x0 / g 0 .x0 / :

.x0 / D

lím

Por lo tanto,
.f ı g/ 0.x0 / D f 0 Œg.x0 / g 0 .x0 / ;
que es lo que se quería demostrar.
En general si u D g.x/ es una función derivable en x & y D f .u/ es una función derivable en u,
entonces la función y D .f ı g/.x/ es derivable en x. Además
dy
d
d
d f Œg.x/ d g.x/
d f .u/ du
D
.f ı g/.x/ D
f Œg.x/ D
D
D
dx
dx
dx
d g.x/
dx
du
dx
d
d
D
f .u/
g.x/ :du
dx
Esto se acostumbra sintetizar como:
dy
D
dx
2

dy
du

du
dx

:

6.2 Regla de la cadena

3

Un caso particular de la regla de la cadena es cuando y D f .u/ D un con n 2 N & u D g.x/,
situación que se conoce como la regla de la potencia:
y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D Œg.x/n
y entonces,
dy
D
dx

dy
du

du
dx

D

d n
u
du

du
dx

D .nun 1 /

du
dx

D nŒg.x/n

1

d
g.x/ :
dx

Es decir,
d
Œg.x/nD nŒg.x/n
dx

1d

g.x/
D nŒg.x/n
dx

1

g 0 .x/ :

En palabras: la derivada de una potencia de una función derivable es el exponente por la potencia
una unidad menor de la función base, por la derivada de la función (“la derivada de lo de adentro",
como se decía anteriormente).
Ejemplo 6.2.1 Para g.x/ D 2x 3 C 5 & f .u/ D u10 .
1. Obtener .f ı g/.x/.
2. Calcular

d
.f ı g/.x/.
dx

H
1.Calculamos y D .f ı g/.x/ D f Œg.x/ D f .2x 3 C 5/ D .2x 3 C 5/10 .

x

g

u D 2x 3 C 5

f

y D u10 D .2x 3 C 5/10

f ıg

Entonces, .f ı g/.x/ D .2x 3 C 5/10 .
2. d
dy
dy
du
.f ı g/.x/ D
D
dx
dx
du
dx
d 10
d
D
u
.2x 3 C 5/ D
du
dx
D .10u9 /Œ2.3x 2 / C 0 D 10u9 .6x 2 / D

D 10.2x 3 C 5/9 6x 2 D 60x 2 .2x 3 C 5/9 :
3

4

Cálculo Diferencial e Integral I

Lo cual es exactamente lo que se obtiene con laregla de la potencia:
d
d
.2x 3 C 5/10 D 10.2x 3 C 5/9 .2x 2 C 5/ D 10.2x 3 C 5/9 6x 2 D 60x 2 .2x 3 C 5/9 :
dx
dx

Demostraremos ahora la regla 2 para el caso en que el exponente es un número racional, esto es:
p
Regla 2 . Si f .x/ D x n con n D 2 Q . p 2 Z y q 2 N /, entonces f 0 .x/ D nx n 1 .
q
H
p
En efecto, tenemos que f .x/ D x q ; elevando ambos miembros a la potencia q, tenemos que Œf...