Funcion De Airy

RESOLUCION DE PROBLEMA BIDIMENSIONAL
BARRA RECTANGULAR EN VOLADIZO CON CARGA LINEAL DISTRIBUIDA

Se tiene una barra en voladizo con carga distribuida lineal como se muestra en la figura:








Para resolver el siguiente problema se toma que las fuerzas de volumen son nulas y se propone la siguiente función de Airy:
∅=C_1 xy+C_2 x^3/6+C_3 (x^3 y)/6+C_4 (xy^3)/6+C_5 (x^3 y^3)/9C_6 (xy^5)/20
Con las siguientes condiciones de borde:

σ_(y(+h))=-P/L x
τ_(xy(±h))=0
σ_(x(-h))=0
σ_(x(x=0))=0
∫_(-h)^h▒τxy_((X=0)) dy=0

Se comprueba Biarmonicidad con
(δ^4∅)/(δx^4 )+2 (δ^4∅)/(δ〖x^2 y〗^2 )+(δ^4∅)/(δy^4 )=0
0+8C_5 yx+6C_6 yx=0
(8C_5 yx+6C_6 )xy=0
C_5=-6/8 C_6
C_5=-3/4 C_6
Despejando C6
C_6=-4/3 C_5
Cálculo de distribución de Esfuerzos
σ_x=(δ^2∅)/(δy^2 )=C_4xy+2/3 y^3 xC_5+C_6 xy^3
σ_y=(δ^2∅)/(δx^2 )=C_2 x+2/3 y^3 xC_5+C_3 xy
τ_xy=(〖-δ〗^2∅)/δxδy=〖-C〗_1-C_3/2 x^2-C_4/2 y^2-C_5 x^2 y^2-C_6/4 y^4

Se determinan las constantes imponiendo las condiciones de contorno
Para y = ±h
σ_y (-h)=0
σ_y (+h)=-P/2L x
-P/L x=C_2 x+2/3 xh^3 C_5+C_3 xh
o=C_2 x-2/3 xh^3 C_5-C_3 xh
-P/L x=2C_2 x
C_2=-P/2L
Sustituyendo C2
0=-P/2L x-2/3 xh^3 C_5-C_3 xh
C_3xh=-P/2L x-2/3 xh^3 C_5
C_3=-P/2Lh-2/3 h^2 C_5

Para x = 0
σ_3 (x=0)=0
0=C_6 y^2
C_4=4/3 C_5 y^2

Se sustituyen C2, C3, C4, C5, C6, en τ_xy
τ_xy=〖-C〗_1-x^2/2 ((-P)/2Lh-2/3 h^2 C_5 )-2/3 C_5 y^4-C_5 x^2 y^2+C_5/3 y^4
Para x=0:
∫_(-h)^h▒〖τ_(xy(x=0)) dy=0〗
∫_(-h)^h▒〖-C_1+(Px^2)/4Lh+(h^2 x^2)/3 C_5-(2y^4)/3 C_5-C_5 x^2 y^2+y^4/3 C_(5 ) dy=0〗
-2C_1 h-(2h^5)/15 C_5=0
C_1=-h^4/15 C_5
Paray=±h
τ_xy=0
h^4/15 C_5+(Px^2)/4Lh+(h^2 x^2)/3 C_5-(2h^4)/3 C_5-C_5 x^2 h^2+h^4/3 C_(5 )=0

Simplificando y agrupando:
〖4h〗^4/15 C_5+(Px^2)/4Lh-(〖2h〗^2 x^2)/3 C_5=0
(48Lh^5 C_5+45Px^2-120Lh^3 x^2 C_5)/180Lh=0

Factorizando y simplificando nuevamente tomando x=0 se tiene que:
45P=120Lh^3 C_5


Despejando y simplificando C5:
C_5=3P/(8Lh_3 )

Obteniendo de esta forma la segundaconstante, de la función. De la misma forma por las relaciones en función de C5 generadas anteriormente se empieza a sustituir para hallar las siguientes constantes de la siguiente forma:

Sustituyendo C5 en C3:
C_3=-P/2Lh*-(2h^2 3P)/(3L8h^3 )
C_3=-P/4Lh
Sustituyendo C5 en C1:
C_1=-h^4/15*-3P/(8Lh^3 )
C_1=-Ph/40L
Sustituyendo C5 en C6:
C_6=-4/3*3P/(8Lh^3 )
C_6=-P/(2Lh^3 )
Sustituyendo C1, C3,C5, C6 en τ_xy
Ph/40L+(3Px^2)/8Lh-h^2/2 C_4-(3Px^2 h^2)/(8Lh^3 )+(Ph^4)/(8Lh^3 )=0
Ph/40L-h^2/2 C_4+Ph/8L=0
Despejando C4:
C_4=3P/10Lh



Calculadas ya todas las constantes estas sustituyen en la Distribución de Esfuerzos:
σ_x=3Pxy/10Lh+(2P3x^3 y)/(3L8h^3 )-(Pxy^3)/(2Lh^3 )
σ_x=Pxy/(Lh^3 ) (3h/10+x^2/4-y^2/2)
σ_x=Pxy/(Lh^3 ) (5x^2+10y^2-6h^2 )

σ_y=-Px/2L+(2P3y^3 x)/(3L8h^3 )-3Pxy/4Lhσ_y=Px/(Lh^3 ) (-h/2+y^3/4-(3h^2 y^2)/4)
σ_y=Px/(4Lh^3 ) (y^3+3h^2 y-2h^3 )

τ_xy=P/40L+(3Px^2)/8Lh-3P/20Lh y^2-(3Px^2 y^2)/(8Lh^3 )+(Py^4)/(8Lh^3 )
τ_xy=P/(Lh^3 ) (h^4/40+(3hx^2)/8-(3h^3)/20 y^2-(3x^2 y^2)/8+y^4/8)
τ_xy=P/(Lh^3 ) ((h^4+15hx^2-6h^2 y^2-15x^2 y^2+5y^4)/40)
τ_xy=P/(40Lh^3 ) (5y^4-15x^2 y^2-6h^2 y^2+15hx^2+h^4 )

Ya obtenido los esfuerzos se procede a hallar lasdeformaciones para un estado plano con las ecuaciones constitutivas obteniendo lo siguiente:
ε_x=Px/(20LEh^3 ) (5x^2 y-10y^3-6hy+ϑ(15h^2 y+10h^3-5y^3 ))
ε_y=Px/(20LEh^3 ) (5y^3-15h^2 y-10h^3-ϑ(5x^2 y-10y^3-6h^2 y))
ε_z=Px/(20LEh^3 ) (5x^2 y-10y^3-6hy+(15h^2 y+10h^3-5y^3 ))
ε_xy=-Pϑx/(20LEh^3 ) (5x^2 y-5y^3-10h^3-9h^2 y)

Seguido de esto se calcula el campo de desplazamientos para u y w nulos en elorigen obteniendo finalmente el siguiente campo:
u_1=-(Px^2 (10ϑy^3-20ϑh^3-5x^2 y+20y^3+12hy-30h^2 ϑy))/(80ELh^3 )
u_2=-Pxy(30h^2 y-10ϑy^3+40h^3-5y^3-12hϑy+10ϑx^2 y)/(80ELh^3 )
u_3=-Pϑz(10h^3+9h^2 y-5x^2 y+5xy^3 )/(20ELh^3 )

La aplicación de este caso en ingeniería se encuentra en las presas de gravedad donde el empuje del agua se incrementa linealmente sobre la pared de la presa que es...