Funcion de airy

Función de Airy

Introducción
En los sólidos es común observar, que su deformación es proporcional a la carga que se le aplica, al igual que las deformaciones son proporcionales a las solicitaciones presentes en el material. Después de considerar toda la evidencia experimental que se ha generado a la fecha, y simplificando, se puede afirmar que la deformación es una función única de lassolicitaciones aplicadas; de tal forma que se rechaza cualquier efecto de la velocidad de carga esto es: f f t Por otra parte, después de que esta carga se elimina la deformación desaparece completamente y en general las deformaciones son infinitesimales. En este caso del medio continuo, se define como un medio elástico, llamándose así, inelásticos a aquellos que no cumplan con las condiciones antesmencionadas. En general, para la situación de deformaciones infinitesimales, se puede describir su comportamiento como lineal; mientras que para grandes deformaciones la relación entre esfuerzos y deformaciones será no lineal. En esta gráfica se ejemplifica:

Esta deformación elástica es la que será objeto de estudio en este proyecto; la elasticidad es un tema que nos permita la determinación deesfuerzos, la tensión y la distribución elástica. La teoría de la elasticidad, se apoya en gran parte en los estudios realizados por el científico inglés Robert Hooke (1635 - 1703), el cual obtuvo la “Ecuación Constitutiva de un Sólido Elástico Homogéneo Lineal e Isotrópico”:
ij kk ij ij

De donde:
ij

- Tensor de esfuerzos - Constante de Lamê - La divergencia del tensor de deformaciones- Delta de Kronecker - Módulo de Rigidez a Corte - Tensor de Deformación

kk
ij

ij

Una relación que existe ente las constates de Lamê ( ( , ) es el coeficiente de Poisson el cual se define como:
2( )

La física de cualquier problema, se describe en un espacio tridimensional, pero, por otro lado, la ingeniería representa el arte de aplicar la física y las matemáticas buscando la mejorrelación entre la aproximación de los resultados de la realidad y la solución más simple y sencilla. Por ello, muchos de nuestros problemas de esta índole, los idealizamos a unas dos dimensiones (plana).Como resultado de esto, reducimos nuestro número de incógnitas de 6 a 3 teniendo así una metodología de solución en muchos casos analítica mas sencilla. A esto se le llama “Estado plano deesfuerzos”

Al tener un estado de deformación biaxial, nuestro tensor de deformación se expresa:
11 ij 21 12 22

0 0 0

0

0

Utilizando la ley de Hooke generalizada:

Como 33 nos queda:

0 entonces,

33

(

11

22

) , por lo que nuestro tensor de esfuerzos
12 22

11 ij 21

0 0 (
11 22

0

0

De la ecuación de Cauchy (cantidad de movimiento), considerandoequilibrio y despreciando las fuerzas de cuerpo:
11 12

x1
21

x2
22

0 0

x1
33

x2 0

x3

De esto concluimos que 33 es solo función de 33 ( x1 , x 2 ) , siendo este una composición lineal de 11 y 22 , por lo que necesitamos una ecuación más, la cual la obtendremos de las ecuaciones de compatibilidad, quedándonos nuestro sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
11 12

x1
21x2
22

0 0 0

x1
2

x2
2 2

x1

x2
11

2

11

22

De donde nuestra incógnitas son:

,

22

y

21

Función de Airy Este tipo de sistemas de ecuaciones son relativamente frecuentes, por lo cuál, se buscó una solución de este a inicios del siglo XIX, desarrollando esta, el astrónomo y matemático inglés George Biddel Airy (1801-1892). A través de una función escalar 0a esta función es a la que se le conoce como “Función de Airy”. tal que 4

De la cuál, Airy demostró que existe una sola función tal que, en ausencia de fuerzas de cuerpo, el campo de esfuerzos queda definido a través de:
2 11

x2
2

2

22

x1

2

2 12

x1 x 2

Una solución elemental la representa cualquier polinomio de tercer grado, que genera un campo de esfuerzos y de...