Funcion de Transferencia

Sistemas Realimentados Simples
Error de Estado Estacionario
Oscar Duarte
Facultad de Ingenier´a
ı
Universidad Nacional de Colombia

– p.1/19

Sistema Contínuo
U (s) k - E(s) K - G(s)
+6
−
H(s) 

Y (s)
-

Figura 1: Sistema contínuo retroalimentado simple
Y (s)
KG(s)
F (s) =
=
U (s) 1 + KG(s)H(s)
E(s)
1
FE (s) =
=
U (s) 1 + KG(s)H(s)
G(s)H(s) es la Ganancia de lazocerrado
– p.2/19

Sistema Discreto
U (z) k - E(z) K - G(z)
+6
−
H(z) 

Y (z)
-

Figura 2: Sistema discreto retroalimentado simple
Y (z)
KG(z)
F (z) =
=
U (z) 1 + KG(z)H(z)
E(z)
1
FE (z) =
=
U (z) 1 + KG(z)H(z)
G(z)H(z) es la Ganancia de lazo cerrado
– p.3/19

Sistemas Realimentados
Si escribimos G y H como dos fracción de
polinomios NG /DG y NH /DH :
Función detransferencia del sistema realimentado,
caso contínuo:
Y (s)
=
F (s) =
U (s) 1 +

NG (s)
K DG (s)
N
N
K DG (s) DH (s)
G (s)
H (s)

Y (s)
KNG (s)DH (s)
F (s) =
=
U (s) DG (s)DH (s) + KNG (s)NH (s)

– p.4/19

Sistemas Realimentados
Función de transferencia del sistema realimentado,
caso discreto:
Y (z)
F (z) =
=
U (z) 1 +

NG (z)
K DG (z)
NG (z) NH (z)
K DG (z) DH (z)Y (z)
KNG (z)DH (z)
F (z) =
=
U (z) DG (z)DH (z) + KNG (z)NH (z)

– p.5/19

Sistemas Realimentados
Función de transferencia del error, caso contínuo:
E(s)
1
=
FE (s) =
U (s) 1 + K NG (s) NH (s)
DG (s) DH (s)
E(s)
1DG (s)DH (s)
FE (s) =
=
U (s) DG (s)DH (s) + KNG (s)NH (s)

– p.6/19

Sistemas Realimentados
Función de transferencia del error, caso discreto:
E(z)
1
=FE (z) =
U (z) 1 + K NG (z) NH (z)
DG (z) DH (z)
E(z)
DG (z)DH (z)
FE (z) =
=
U (z) DG (z)DH (z) + KNG (z)NH (z)

– p.7/19

Error de Estado Estacionario
U (s) k - E(s) K - G(s)
+6
−
H(s) 

Y (s)
-

Figura 3: Sistema contínuo retroalimentado simple
Asegurar que la señal de error sea nula (al menos
despues de que las respuestas transitorias hayan
desaparecido). Se estudia larespuesta de estado
estacionario de la señal de error, comunmente
denominada el Error de estado estacionario.
eee = l´ e(t)
ım
t→∞

– p.8/19

Error de Estado Estacionario
eee = l´ e(t)
ım
t→∞

e(t) = L−1 {E(s)}
Empleando el teorema del valor final:
eee = l´ e(t) = l´ {sE(s)}
ım
ım
t→∞

s→0

El Error se puede calcular con la función de
transferencia del error
ım
eee = l´{sFE (s)U (s)}
s→0

– p.9/19

Error de Estado Estacionario
eee = l´ {sFE (s)U (s)}
ım
s→0

eee podrá ser 0, ∞ o un valor finito, dependiendo del
número de polos y ceros en s = 0 que tengan FE (s) y
U (s)
(s+4)
Ejemplo:FE (s) = (s+3)(s+5) y U (s) = (s21
+4)
1
(s + 4)
eee = l´
ım s
s→0
(s + 3)(s + 5) (s2 + 4)
(0 + 4)
1
eee = 0
=0
2 + 4)
(0 + 3)(0 + 5) (0
– p.10/19Error de Estado Estacionario
eee = l´ {sFE (s)U (s)}
ım
s→0

Ejemplo:FE (s) =

(s+4)
(s+3)(s+5)

y U (s) =

(s + 4)
1
eee = l´
ım s
s→0
(s + 3)(s + 5) s

1
s

= l´
ım

s→0

(s + 4)
(s + 3)(s + 5)

4
(0 + 4)
=
eee =
(0 + 3)(0 + 5) 15

– p.11/19

Error de Estado Estacionario
eee = l´ {sFE (s)U (s)}
ım
s→0

Ejemplo:FE (s) =

s(s+4)
(s+3)(s+5)

y U (s) =1
s3

s(s + 4)
1
eee = l´
ım s
s→0
(s + 3)(s + 5) s3
ım
eee = l´

s→0

1
(s + 4)
(s + 3)(s + 5) s

1 4
(0 + 4)
= =∞
eee =
(0 + 3)(0 + 5) 0 0
– p.12/19

Error de Estado Estacionario
eee = l´ {sFE (s)U (s)}
ım
s→0

En los ejemplos anteriores puede observarse que el valor de eee depende de si la s que aparece en la ecuación
puede o no cancelarse con otras términos sque aparezcan en FE (s)U (s). Con esto en mente, definimos el
Tipo de Sistema como el número de ceros en s = 0
que tenga FE (s) y construimos un cuadro.

– p.13/19

Error de Estado Estacionario
eee = l´ {sFE (s)U (s)}
ım
s→0

u(t) = tµ(t)

u(t) = t2 µ(t)/2

···

U (s) = 1/s

U (s) = 1/s2

U (s) = 1/s3

···

0

l´ s→0 {FE (s)}
ım

∞

∞

···

1

0

l´ s→0
ım...