Funcion Gamma

mmaLAS FUNCIONES GAMA Y BETA
Gladys Bobadilla A.

Noviembre 2009

Las funciones gama y beta son dos funciones importantes en f´
ısica, probabilidad y estad´
ıstica, entre
algunas de sus aplicaciones, que est´n definidas mediante integrales impropias . En esta gu´ se
a
ıa
deducen algunas propiedades b´sicas de tales funciones y, en particular, se deduce el valor de la
a
integral deGauss:
+∞
√
2
e−x dx = π
−∞

La funci´n Gama
o
Dado p > 0, no necesariamente un entero, definimos la funci´n llamada Gama, mediante la
o
integral
+∞

xp−1 e−x dx.

Γ(p) =
0

Esta funci´n cumple las siguientes propiedades:
o
1.
Γ(p) est´ bien definida para todo p > 0.(i.e.Γ(p) ∈ R).
a
Demostraci´n:
o
1

Si p > 1, la integral 0 xp−1 e−x dx es una integral de Riemann, por tanto, un n´ mero
u
+∞ p−1 −x
real. Se debe analizar 1 x e dx..
1
Usando criterio de comparaci´n al l´
o
ımite con g (x) = 2 , tenemos:
x
xp−1 e−x
f (x)
= e−x xp+1
=
g (x)
x−2
f (x)
= l´
ım e−x xp+1 = 0
l´
ım
n→+∞
x→+∞ g (x)
Como la integral de g (x) converge, la integral de f (x) tambi´n converge.
e
Si 0 < p < 1, la integral es impropia en x = 0. Por tanto, se debe analizar laconvergen1
cia de I1 = 0 xp−1 e−x dx.
x ∈ [0, 1] =⇒ 0 < e−x xp−1 <

1
x1−p

.

Por otra parte,
0 < p < 1 =⇒ 0 < 1 − p < 1.
Por tanto,
1
0

1
dx es convergente, lo que implica la convergencia de la integral I1 .
x1−p

2. Γ(1) = 1 .
Demostraci´n:
o
+∞

+∞

x1−1 e−x dx =

Γ(1) =
0

e−x dx = 1.
0

3. Si p > 1, Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1).
1

Demostraci´n:
o
+∞xp−1 e−x dx

Γ(p) =
0

Integrando por partes, tenemos
f (x) = e−x
g ′ (x) =

=⇒ f ′ (x) = e−x
=⇒ g (x) = −e−x

Por tanto,
I (p) = −xp−1 e−x +

(p − 1)xp−2 e−x dx
+∞

Γ(p) = −xp−1 e−x |+∞ +
0

(p − 1)xp−2 e−x dx

0

A

La expresi´n A se anula. As´ nos queda:
o
ı,
Γ(p) = (p − 1)Γ(p − 1).
4. Si p ∈ N, entonces

Γ(p) = (p − 1)!.

5. Si p = [p] + r con [p] es la parteentera de p y r ∈ (0, 1), entonces
Γ(p) = (p − 1)(p − 2)...(p − n)Γ(r).
Esto nos dice que basta tabularla en (0, 1).
6. Mediante el cambio de variable x = y 2 se tiene
+∞

2

y 2p−1 e−y dy.

Γ(p) = 2
0

A partir de lo cual podemos deducir que:
Γ

1
2

+∞

+∞

2

y 0 e−y dy = 2

=2
0

2

e−x dx.

(1)

0
+∞

1 n+1
Γ(
)=
2
2
7. Si n ∈ N, se tiene

2

xne−x dx.
0

+∞

2

y n−1 e−y dy.

Γ(n/2) = 2
0

8. Si n ∈ N, se tiene

+∞

Γ(n/2) = (n − 2)

2

y n−3 e−y dy.
0

La funci´n Beta
o
Dado p > 0 y q > 0 no necesariamente enteros, definimos la funci´n llamada Beta, mediante la
o
integral
1

β (p, q ) =
0

xp−1 (1 − x)q−1 dx.

La cu´l cumple las siguientes propiedades:
a
1. β (p, q ) est´ bien definida para todo p > 0, q> (i.e. β (p, q ) ∈ R)
a
2

Demostraci´n: Si p > 1 y q > 1, la integral es un n´ mero real.
o
u
si 0 < p < 1 y 0 < q < 1 , entonces la integral es impropia es x = 0 y x = 1.
α
0+

xp−1 (1 − x)q−1 dx.
1
comparamos con g (x) = 1−p cuya integral es convergente.
x

Convergencia de la integral β (p, q ) =
Si f (x) = xp−1 (1 − x)q−1

1−
α

Convergencia de la integral β (p, q ) =xp−1 (1 − x)q−1 dx.

Si f (x) = xp−1 (1 − x)q−1 comparamos con g (x) =

gente.
2.

1
cuya integral es conver(1 − x)1−q

1

β (p, 1) =
0

1

xp−1 (1 − x)1−1 dx =

xp−1 dx =
0

1
.
p

3.
β (p, q ) = β (q, p)

(2)

Demostraci´n: Usando el cambio de variable:
o
u = 1 − x =⇒ du = −dx

(3)

Se tiene:
0

β (q, p) =
1

1

(1 − u)p−1 uq−1 (−du) =

0

(1 −u)p−1 uq−1 du = β (q, p)

(4)

4.
β (p, q ) =

q−1
β (p + 1, q − 1)
p

(5)

Demostraci´n: Integrando por partes la expresi´n que define β (p, q ),
o
o

xp
du = xp−1 dx
=⇒ u =
p
v = (1 − x)q−1 =⇒ dv = −(q − 1)(1 − x)q−2

entonces, considerando que q > 1, nos queda:
1

β (p, q ) =

xp (1 − x)q−1
q−1
+
p
p
0

1
0

xp (1 − x)q−2 dx = 0 +

q−1
β (p + 1,...