funcion inversa y reciproca
Páginas: 4 (799 palabras)
Publicado: 8 de abril de 2013
FUNCION INVERSA Y RECIPROCA
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir laaplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.
Definiciones formales
Sea f una función real invectiva, cuyodominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J eimagen I definida por la siguiente regla:
Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
y
.
De hecho, estas dos últimaspropiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
Definiciones alternativas
Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
y
,
entonces:
Si secumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha def.
Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.
Propiedades algebraicasInversión del orden en la composición de funciones.
La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer elcamino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y .
Propiedades analíticas de funciones reales de una variable
Continuidad
f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también...
En matemáticas, si f es una aplicación o función que lleva elementos de I en elementos de J, en ciertas condiciones será posible definir laaplicación f -1 que realice el camino de vuelta de J a I. En ese caso diremos que f -1 es la aplicación inversa o recíproca de f.
Definiciones formales
Sea f una función real invectiva, cuyodominio sea el conjunto I, es decir, creciente o decreciente en el conjunto I, y cuya imagen sea el conjunto J. Entonces, la función recíproca o inversa de f, denotada f -1, es la función de dominio J eimagen I definida por la siguiente regla:
Destaquemos que f -1, al igual que f, es una aplicación biyectiva, que queda determinada de modo único por f y que cumple:
y
.
De hecho, estas dos últimaspropiedades caracterizan a la función inversa, como muestra la siguiente definición alternativa.
Definiciones alternativas
Dadas dos aplicaciones y las propiedades:
y
,
entonces:
Si secumple 1) entonces f es inyectiva y g sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la izquierda de f.
Si se cumple 2) entonces g es inyectiva y f sobreyectiva, y diremos que g es inversa por la derecha def.
Si se cumplen simultáneamente 1) y 2) entonces f y g son biyectivas y g es la inversa de f.
Este último punto se usa con frecuencia como definición de función inversa.
Propiedades algebraicasInversión del orden en la composición de funciones.
La recíproca de la composición de dos funciones viene dada por la fórmula
Obsérvese que se invierte el orden de f y g, pues para deshacer elcamino avanzado primero por f y después por g, habrá que empezar deshaciendo este último por medio de g–1 y terminar con f–1,
La recíproca de la recíproca de una función es la propia función:Esta propiedad se deduce de la simetría que hay en las fórmulas: y .
Propiedades analíticas de funciones reales de una variable
Continuidad
f y g son simultáneamente continuas: Si una lo es, también...
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