funcion logaritmica exponencial

Función Logaritmo y exponencial
Función logaritmo natural
En términos matemáticos la función logaritmo natural es una herramienta de
mayor utilidad que el logaritmo del álgebra elemental, el cual está definido en
términos de exponentes:
es un número n tal que
, donde b es
n
llamada la base. La potencia. La potencia b está definida, sin embargo,
solamente para valores racionales de n; sugráfica entonces está llena de agujeros
y no es derivable ni integrable.
Por otro lado, la función logaritmo natural, además de tener las mismas
propiedades del logaritmo elemental, es diferenciable e integrable, ya que en su
intervalo de definición (0,∞), es continua y está representada por una sola regla de
correspondencia.
Definición
La función logaritmo natural denotada como ln sedefine de la siguiente forma.

∫

Características de la función ln




Dominio (0, ∞)
Rango (- ∞, ∞)
Biyectiva



Su derivada



Su función inversa

Teorema
Si a y b son números positivos, entonces
∫

Propiedades de la función logaritmo natural
Si a y b son números positivos y r cualquier número, entonces.
1.
2.
3.
4.
Derivada de la función logaritmo natural

Siu=u(x) es una función derivable, entonces;
| |
Si u=u(x) y v=v(x) son funciones derivables, entonces
(

)

Ejemplo

(

Obtener

las siguientes derivadas de las siguientes funciones

a)

( )

b)

( )

c)
d)

( )
( )

|

)

|
|

|

| ( )|
(
) (

) (

) (

)

Derivación logarítmica
En ocasiones una función, tiene una expresión algebraica muycomplicada, Para
obtener la derivada de dicha función, podemos utilizar un método indirecto, el cual
llamaremos derivación logarítmica, la cual consiste en aplicar el logaritmo natural a
la función, utilizando propiedades de los logaritmos y derivar en forma implícita de
la siguiente forma.
( )
( )
( )
( )
( )
Ejemplo
( )

(

) (

) (

) (

)

Se obtiene logaritmo natural de amboslados
( )

[(

) (

) (

) ]

) (

Se aplican todas las propiedades de los logaritmos
( )

(

)

(

)

(

)

(

)

Se obtiene la derivada de ambos lados
( )

(

)

(

)

(

)

(

)

) (

)

( )
( )
`Finalmente
( )

[

](

) (

) (

Ejercicios
Obtener las derivadas de las siguientes funciones
1)

( )

√(
(

)(

2) ( )
3)( )
4) ( ) √
5)

( )
( )

(

(

√(

6)

)

) ⁄

)
)√

)

La integral de una función logaritmo natural
∫

| |

Ejercicios

a) ∫
b) ∫
c) ∫
d) ∫
Función exponencial natural
Teorema
Si f(x)= ln x y g es la inversa de f, entonces g(x)=e x

Definición
La función ( )
, inversa de f(x)=ln x, es la función exponencial natural
o, simplemente, la funciónexponencial.
Corolario

1.
2.
3.
Propiedades


(


)

Limites de la función exponencial

1.
2.

Derivada de la función exponencial

Si u=u(x) es una función diferenciable, entonces

Encuentre la derivada de f(x) en cada uno de los siguientes funciones

 ( )
 ( )

 ( )



√
(

)

La integral de una función exponencial

∫

Realizar las siguientes integrales⁄

∫
∫

√

∫
∫

(

)

∫
∫
∫

Función exponencial base

a

Si a es número positivo y x es un número real, entonces
( )
Define a la función exponencial de base a.

Teorema

{

{

Derivación e Integración de una función elevada a otra función
Podemos partir de

Teorema

(

Si a es un número positivo, entonces

)

Teorema
Si a es un número positivo yu=u(x) es una función diferenciable, entonces.

(

)

Teorema
Si a es un número positivo distinto de 1, entonces

∫
Ejercicio
Obtener las derivadas de las siguientes funciones





√

Calcular las siguientes integrales

 ∫
 ∫(

)(

)

 ∫
√
Definición
Si a es un número positivo distinto de 1, la inversa
de f(x)=ax, denotada como
loga, se llama la función...