funciones circulares

Funciones circulares
 
Las seis funciones circulares también llamadas funciones trigonométricas son: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante. Denotadas respectivamente por: sen x, cos x, tan x, cot x, sec x, y csc x.
 
Definición: Si x es un número real y (a, b) son coordenadas del punto circular P(x), entonces las seis funciones circulares o trigonométricas se definencomo:
y
 

 
P(X) = (a,b)
 
x

 
 
  
 
Con esta definición podemos evaluar las seis funciones trigonométricas de los puntos:
 

 
 
Ejemplos para discusión: Evaluar las seis funciones trigonométricas para:
 
1) P(0) : P(0) = (1, 0), donde a = 1 y b = 0
 

 
 



 

 

 
Ejercicio de práctica: Evalúa las seis funciones trigonométricas de:
 

 Identidades básicas:
 
Al observar la definición de las funciones circulares (trigonométricas) que cos x = a y sen x = b se puede obtener las siguientes identidades:

 
 
Como (a, b) = (cos x, sen x) está en el círculo unitario x2 + y2 = 1 entonces,
(cos x)2 + (sen x)2 = 1, que se escribe usualmente de la forma sen2 x + cos2 x = 1 es otra identidad trigonométrica. Estas cincoecuaciones se conocen como identidades básicas.
 
Ejemplo para discusión: Usa las identidades básicas para hallar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas, dado que:

 
Ejercicio de práctica: Usa las identidades trigonométricas básicas para hallar los valores de las otras cinco funciones trigonométricas, dado que:

Función escalón
En ingeniería es común encontrarfunciones que corresponden a estados de sí o no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que suspenderse después de cierto tiempo. Para tratar de forma efectiva con estas funciones discontinuas conviene introducir una función especial llamada función escalón unitario.
 
  Definición [Función de Heaviside]
 
La función escalón unitario o función de Heaviside1.2     se define como

Observación: la función de heaviside se definio sobre el intervalo , pues esto es suficiente para la transformada de Laplace. En un sentido más general para .   

 
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .
Solución
La función está dada por

y su gráfica se muestra en la figura 1.5Figura 1.5
 
Cuando la función de Heaviside se multilplica por una función , definida para , ésta función se desactiva en el intervalo , como muestra en siguiente ejemplo.
Ejemplo
Trazar la gráfica de la función .
Solución
La función está dada por

 
 

Figura 1.6
 
La función de Heaviside puede utilizarse para expresar funciones continuas a trozos de una manera compacta,como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo
Use la función de Heaviside para reescribir la función

Solución
Para reescribir la función basta usar la definición de la función Heaveside




 




Observación: la función

se escribe usando la función de Heaviside como

 
 
 Teorema [Transformada de la función Heaviside]
 
La transformada de la función deHeaviside es

 
Demostración
Usando la definición de transformada




 


 


 


 


 
En el primer teorema de traslación nos permitío calcular la transformada de una función al ser multiplicada por una función exponencial , el segundo teorema de traslación nos permitirá calcular la trasformada de una función que es multiplicada por una función escalón.
 
 
 Teorema...