Funciones de varias variables

Funciones de varias variables. Límites y Continuidad

Una función [pic]:[pic]−→ R es una regla que asocia a cada
n-ada ordenada de números reales [pic]de [pic], o bien, a cada vector
[pic] de[pic], un número real (y sólo uno) bien determinado [pic][pic].
En consecuencia, una función de varias variables esta constituida por:
a) Su dominio [pic],
b) su codominio [pic],
c) la regla [pic],que asocia a cada elemento del dominio [pic],
su imagen [pic].
A la magnitud que se despeja (la imagen) se le llama variable dependiente
y a las otras variables independientes.
A las funciones devarias variables también se les llama campos escalares
Ejemplo. La ecuación de la esfera [pic]no representa (globalmente)
una función, ya que si le damos valores a dos de las variables obtenemos dosvalores de la tercera, lo que viola el concepto de función.

Dominio de una función de varias variables
El dominio de una función se define como el conjunto de puntos que tienen
imagen.
En lapráctica el dominio de una función de varias variables, normalmente,
viene determinado por el contexto del problema (por ejemplo él área
de un triángulo). Por eso, para definir las funciones es usualdar simplemente
la fórmula z = f(x), sin especificar el dominio D.
Dominio implícito en la fórmula. Cuando no se dispone de un contexto
de aplicación, también es usual definir las funciones dandosimplemente la
regla z = f(x), sin especificar el dominio D. En tal caso se entiende que
el dominio viene implícito en la propia fórmula, y queda determinado por
todos aquellos valores para loscuales tiene sentido aplicar la fórmula que
define la función.
Por ejemplo, si definimos la función [pic] el dominio sería
cualquier pareja de números reales (x,y). Ahora bien, si queremos que esafunción represente el área de un triángulo, los valores x e y tienen que ser
positivos. Por lo tanto dicha restricción había que indicarla junto con la
fórmula [pic] x > 0, y > 0.
El dominio de...