Funciones Reales De Varias Variables

Curvas de Nivel
La representación gráfica de funciones escalares resulta generalmente bastante simple por tratarse de curvas planas. En cambio, la representación de las superficies asociadas a funciones de dos variables resulta, en la mayor parte de los casos, excesivamente complicada.
Es usual, para determinadas funciones, recurrir a curvas planas llamadas curvas de nivel.
Si una función estádada por la expresión z = F(x, y) y hacemos F(x, y) = k , esta última ecuación corresponde a los puntos de la superficie que se obtiene seccionándola con el plano z = k , paralelo al plano coordenado z = 0 , o sea al determinado por los ejes x e y.
Para diferentes valores de k, se obtienen distintas curvas planas que forman una familia de curvas de nivel.

En esta figura podemos observar larelación existente entre las curvas de nivel y la superficie.
Si se imagina que las curvas son levantadas hasta la altura indicada por el valor de k, se puede armar mentalmente una idea de la superficie. Por ejemplo, vemos que la superficie es más empinada donde las curvas están más cercanas entre sí y es algo más llana, donde están más separadas.
Un ejemplo típico de curvas de nivel se presentaen los mapas topográficos de regiones montañosas, en tal caso, las curvas de nivel son curvas de elevación constante sobre el nivel del mar. Si una persona camina a lo largo de una de estas curvas de contorno, no asciende ni desciende. Otro ejemplo común son las isotermas, en este caso, las curvas de nivel unen lugares que tienen igual temperatura.
Definición:
Dado un campo escalar de dosvariables por la expresión z = F(x, y) , se llama curva de nivel k al conjunto de puntos x, y del dominio de F para los cuales F(x, y) = k .

Superficies de nivel
Las curvas de nivel pasan a ser superficies de nivel cuando se añade una dimensión. Si f es una función de tres variables y c una constante la gráfica de la ecuación f (x, y, z) = c es una superficie de nivel de la función f. tal como semuestra en la figura siguiente.

Si F es una función de tres variables, cuyos valores se obtienen mediante la expresión u = F(x, y, z), la función no tiene representación gráfica usual, pero pueden hallarse sus superficies de nivel, es decir, haciendo u = k se obtiene para los distintos valores de k, una familia de superficies.
Por ejemplo, las superficies de nivel de la funciónF(x, y, z) = x2 + y2 + z2 , son esferas con centro en el origen de coordenadas.
Derivadas parciales de funciones de varias variables.
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independienteal siguiente límite, si existe y es finito:

Calculado suponiendoconstante.
Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente al siguientelímite, si existe y es finito:

Calculado suponiendoconstante.
Para calcular las derivadas parciales son válidas las reglas y fórmulas de derivación ordinarias. Basta considerar que todas las variables son constantes (son números), salvo aquella respecto de la que estamos derivando.

Halla, aplicando la definición, las derivadas parciales de la función

Solución:
Considerando como una constante,tenemos:
Considerando como una constante, tenemos:

Derivadas parciales de orden superior.
Si tenemos una función f de n variables y mantenemos todas las variables excepto una fija en un determinado valor, obtendremos como resultado una función de una variable. Hemos denominado a la derivada de esta función derivada parcial. Si derivamos esta función de una variable en dos ocasiones,obtendremos una derivada parcial de segundo orden. Del mismo modo, podemos definir derivadas parciales de cualquier orden mediante derivaciones sucesivas.

La función f(x, y) = x4 − x2 + xy + y2 − y4 tiene como derivadas parciales:
∂f/∂x = 4x3 − 2x + y ∂f /∂y= x + 2y − 4y3.

Cada derivada parcial es función tanto de x como de y. Así pues, tenemos cuatro posibles derivadas parciales...