Funciones inversas

FUNCIONES INVERSAS
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FUNCIONES
Puesto que vamos a hablar de funciones inversas (también llamadas recíprocas) debemos tener claro el concepto de función. Seguro que muchas veces hemos ya trabajado con funciones, tanto en Matemáticas como en Física. ¿Pero nos hemos planteado alguna vez qué es una función? ¿Conocemos una definición formal y precisa de función? Todos tenemos una idea intuitivade función, pero debemos plasmarla utilizando un lenguaje matemático. Al dar una definición formal puede que parezca que se pierde nuestra intuición, pero debemos hacer un esfuerzo para asociar nuestra intuición con la definición formal que ha sido dada por otros que se molestaron en expresar con un lenguaje útil aquello que pensaban y/o intuían.
A lo largo de la historia se han dado variasdefiniciones de función, aquí se expondrá la que es comúnmente utilizada dentro del ámbito de la Matemática Moderna.
Antes de dar la definición de función conviene recordar que:
• RxR = R2, producto cartesiano de R por R, es el conjunto de pares ordenados (x, y), donde tanto x como y son números reales. Es decir:
|RxR = R2 = { (x, y) / x, y ∈ R } |

• Un par ordenado puede serrepresentado en un Sistema de Coordenadas (par de rectas que se cortan en ángulo recto). Al primer elemento de un par ordenado le llamamos primera coordenada o abscisa y el segundo es la segunda coordenada u ordenada.
• Un conjunto se puede definir dando la lista de todos sus elementos (definición por extensión) o dando una propiedad que deban cumplir (definición por comprensión).
|DEFINICIÓN:Una función f es un subconjunto de RxR tal que no hay dos pares distintos de f que tengan la misma primera |
|coordenada. En otras palabras, si dos pares de f tienen el mismo primer elemento, tienen también el segundo igual; es decir, si |
|(a, b), (a, c) ∈ f, entonces b=c. |

EJEMPLOS:1. f = { (1, 2), (2, 4), (3, -1), (4, 2) } es una función.
2. g = { (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, -1) } no es una función, pues los pares (1, 2) y (1, 3) tienen igual la primera coordenada y según la definición debería ser 2=3, lo cual no es cierto.
Cuando un conjunto viene dado por una lista de pares es fácil ver si es una función o no; sin embargo, si el conjunto está definido por unapropiedad puede ser muy complicado determinar si es función o no. Dependerá de los conocimientos matemáticos que se posean.
EJEMPLOS:
1. f = { (x, y) / y=2x } es una función, pues el valor de y viene determinado de forma única a partir del de x.
2. g = { (a, b) / a2+b2=9 } no es una función, pues los pares (0, 3) y (0, -3) tienen igual la primera coordenada y distinta la segunda coordenada.3. h = { (a, b) / a2+b3=16 } es una función; basta con despejar b y observar que viene determinado por a de forma unívoca.
4. k = { (x, y) / x3+y3=16xy } no es una función; demostrar esta afirmación no es fácil.
Si tuviéramos representados los conjuntos anteriores, sería fácil determinar cuáles son funciones y cuáles no. Basta observar que la definición de función significa, gráficamente, queno hay dos puntos de la función situados sobre la misma recta vertical. En la siguiente escena podemos ver representado cada uno de los ejemplos anteriores y, utilizando la recta vertical asociada a un control, establecer cuáles son funciones y cuáles no.
Después de seleccionar el número correspondiente al ejemplo, hay que pulsar el botón "Limpiar" para que aparezca la correspondienterepresentación.
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Ejercicio 1: Utilizando la escena anterior, averiguar tres puntos del conjunto del ejemplo 4 cuya primera coordenada sea 8. Los resultados que se obtengan serán aproximados. Utilizar una calculadora para comprobar la bondad de los resultados. (Recordar que el Nippe Descartes presenta las coordenadas del punto sobre el que se encuentra el puntero del ratón cuando se...