Funciones Omogeneas

Funciones homogéneas

FUNCIONES HOMOGÉNEAS (ESQUEMA) 1.- Concepto y propiedades. 1.1.- Concepto Definición de cono Definición de función homogénea Interpretación económica de la función homogénea 1.2.- Propiedades (Operaciones con funciones homogéneas) Suma de funciones homogéneas Producto de un escalar por una función homogénea Combinación lineal de funciones homogéneas Producto de funcioneshomogéneas Cociente de funciones homogéneas Derivación de una función homogénea Reducción a una función de (n-1) variables 2.- Teorema de Euler. Interpretación económica. 2.1.- Teorema de Euler 2.2.- Teorema de Euler y teoría de la distribución Problemas resueltos Problemas propuestos Bibliografía

- 1-

Funciones homogéneas

FUNCIONES HOMOGÉNEAS 1. Concepto y Propiedades 1.1.- ConceptoDefinición de cono (en un espacio vectorial real) Se llama cono a todo conjunto C⊆ R que cumple la siguiente condición: t x ∈ C, ∀x ∈ C, ∀t >0. Definición de función homogénea Dada una función real de n variables tal que f: D⊂ R → R, en donde su dominio es un cono , se dice que es homogénea de grado r si verifica: f(t x) = t f(x), ∀x ∈ D con t>0, r∈ R NOTA 1: Se exige que D sea un cono para garantizarque t x ∈ D. NOTA 2: Justificación de t > 0: - Evita problemas de falta de definición o inexistencia: f(t x) = t f(x). Ejemplo : Si r =
r r n n

1 y t < 0 ⇒ f(t x) ∉ R. 2

- Interpretación económica: Al trabajar con determinadas variables económicas (cantidades a consumir, a emplear o a producir, por ejemplo), el sentido económico impone su no negatividad, por lo que con t > 0 se tienegarantizado que t xi va a seguir manteniendo ese mismo sentido económico. xi ≥ 0 y t > 0 ⇒ t xi ≥ 0 (sentido económico). NOTA 3: r∈R ⇒ r puede ser positivo o negativo; entero, racional o irracional. Si r es entero (positivo o negativo), t > 0 es una restricción superflua. El valor de r tiene importancia a la hora de la interpretación económica de funciones homogéneas.
Ejemplo 1:

f(x,y,z) = 3x +2yz.

- 2-

Funciones homogéneas
3

Al tratarse de una función polinómica, su dominio es R , y por tanto es un cono. f(t x, t y, t z) = 3 t x + 2 (t y)(t z) = t (3 x + 2 t y z). Esta función no es homogénea.
Ejemplo 2:

f(x, y) = 2x + y .
Su dominio es el conjunto D={(x,y)∈R /2x+y≥0}, que es un cono, pues multiplicando la restricción que cumplen los puntos (x,y) ∈ D por una cantidadpositiva, t>0, el sentido de la restricción no cambia t (2x+y) ≥ t 0 ⇒ t 2 x + t y ≥ 0 ⇒ 2(t x)+(t y) ≥ 0 ⇒ (t x, t y)∈D. Estudiando si es homogénea:
f(t x,t y) = 2 t x + t y = t (2x + y) = t 2x + y = t
1 2
2

f(x,y).

La función es homogénea de grado r = 1 .
2

Ejemplo 3:
f(x, y) = x 2y2 2 x 4 + 3 y4
2

.

Su dominio es el conjunto D = R - {(0,0)}, que es un cono. Se estudia si eshomogénea:
f(t x, t y) = = x 2 y2 2x +3y
4 4

(t x)2 (t y)2 2 (t x)4 + 3(t y)4

=

t 2 x2 t 2 y2 2 t 4 x4 + 3 t 4 y4

=

t 4 x2 y2 t 4 (2x 4 + 3 y 4 )

=

= f(x, y) = t 0 f(x, y),

∀(x, y)∈ D, t > 0 ⇒ r = 0 .

Por tanto, la función es homogénea de grado 0.
Ejemplo 4:

f(x, y) =

1 x
2

+ y2
2

.

Su dominio también es el conjunto D = {R - (0,0) }, que es un cono.
- 3-Funciones homogéneas

f(t x,t y) =

1 (t x) + (t y)
2 2

=

1 t x +t y ⇒ r = -2.
2 2 2 2

=

1 t (x + y )
2 2 2

= t-2 f(x,y)

∀(x, y)∈ D, t > 0

Por tanto, la función es homogénea de grado -2.

Interpretación económica de la función homogénea

•

EL FENÓMENO DE LA “ILUSIÓN MONETARIA”: Función de demanda del bien x x (p1 , p2, ..., pn, yd),

donde p1 es el preciodel bien x, p2, ..., pn son los precios bienes sustitutivos y complementarios, yd es la renta nominal disponible.

Si la función es homogénea de grado r: x (t p1 , t p2, ..., t pn, t yd) = tr x (p1 , p2, ..., pn, yd), según los valores de r: r = 0 ⇒ Ausencia de “ilusión monetaria”. El consumidor tiene en cuenta su renta real y no varía su demanda. r > 0 ⇒ “ilusión monetaria”. x BIEN NORMAL (El...