Funciones Trigonometricas

Cap´ıtulo 3
Las Funciones Trigonom´
etricas
3.1.

El c´ırculo trigonom´
etrico

Vamos a suponer conocido el sistema cartesiano en lo que se refiere a conceptos fundamentales como son los de abscisa y ordenada de un punto, ubicaci´on de diferentes puntos
en el plano, algunas relaciones como por ejemplo, la distancia entre dos puntos dados.
Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ),

P1(x1,y1)

Ladistancia P1 P2 esta dada por:
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

P2 (x2,y2)
En un sistema cartesiano ortogonal (U, V ), definimos una circunferencia con centro
en el origen (0, 0) y radio 1. Esta circunferencia, a la que se le acostumbra llamar c´ırculo
trigonom´etrico, s´olo sirve de ayuda para comprender algunos conceptos, una vez definidas
las funciones trigonom´etricas.

B
I

II
C
III

P(u,v)

O (0,0)
IVA

”u”se llama abscisa de P (u, v)
”v”se llama ordenada de P (u, v)
Note que
∀(u, v) : (u − 0)2 + (v − 0)2 = 1 ⇒ u2 + v 2 = 1
A = (1, 0), B = (0, 1), C = (−1, 0) y D = (0, −1)

D

27

Las Funciones Trigonom´etricas

28

Tomaremos siempre el eje OU , como origen de ´angulos, as´ı

x<0
A(1,0)
U

x
O

O

x

A (1,0)
U

x< 0

Es importante notar que un ´angulo x determina un u
´nico punto en lacircunferencia
trigonom´etrica. Sin embargo dado P en la circunferencia trigonom´etrica hay muchos ´angulos que le corresponden: aquellos que difieren en un m´
ultiplo de 2π.

3.2.

Definiciones

En estas definiciones extenderemos el concepto de raz´on trigonom´etrica al de funci´
on
trigonom´
etrica. Sea el c´ırculo trigonom´etrico que se muestra en la figura.

V
P(u,v)
1

A(1,0)
x
O
U
O Q

Se defineseno del ´angulo x, por el n´
umero real
sen x = QP = ordenada de P = v
coseno del ´angulo x, por el n´
umero real
cos x = OQ = abscisa de P = u
tangente del ´angulo x, al n´
umero real
senx
v
= ,
cosx
u
cotangente del ´angulo x, al n´
umero real
tg x =

cotg x =

cosx
u
= ,
senx
v

u=0

v=0

secante del ´angulo x, al n´
umero real
Trigonometr´ıa y geometr´ıa anal´ıtica

Luis Zegarra A.

LasFunciones Trigonom´etricas

1
1
= ,
cosx
u
finalmente cosecante del ´angulo x, al n´
umero real
sec x =

29

u=0

1
1
= , v=0
senx
v
Note que por estas definiciones, cada punto P (u, v) de la circunferencia trigonom´etrica
tiene coordenadas P (cos x, sen x), esto es, hay una correspondencia biun´ıvoca.
Sin embargo tal como hici´eramos ver anteriormente no hay correspondencia biun´ıvoca
entre P (u, v) yel ´angulo x.
cosec x =

Para el caso de la tangente, a pesar que se defini´o en t´erminos del seno y coseno, vamos
a dar la siguiente definici´on geom´etrica equivalente:

V

tg x =

P T
1

a x
O

A
U
R

AT
AT
=
= AT
OA
1

A la recta AT , que tiene su inicio en el punto
A, se le acostumbra llamar eje de las tangentes. La
medida de AT (que es positiva) es la tangente de x,
y la medida de AR (quees negativa) es igual a la
tangente de α.

Para el resto de las funciones trigonom´etricas existen definiciones geom´etricas equivalentes, pero no las mostraremos en este texto
Por u
´ltimo es necesario ser riguroso con nuestras definiciones, para lo cual consideraremos
un c´ırculo de radio cualquiera r(r = 1). Haremos ver a lo menos que sen x y cos x, son
n´
umeros reales que no dependen deltama˜
no del radio:

V
P

,

P

OP = 1, OA = 1, OA = r
Como OQP ∼ OQ P

,
x A, A
O Q
U
O Q
O

Trigonometr´ıa y geometr´ıa anal´ıtica

(r = 1)

QP
QP
=
= QP = v = sen x
OP
OP
OQ
OQ
=
= OQ = u = cos x
OP
OP

Luis Zegarra A.

Las Funciones Trigonom´etricas

3.3.

30

Propiedades

De las definiciones anteriores, se tiene que
−1 ≤ u ≤ 1 ⇔ −1 ≤ senx ≤ 1 ⇔ |senx| ≤ 1,
−1 ≤ v ≤ 1 ⇔ −1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ |cosx| ≤ 1,∀x ∈ R
∀x ∈ R

tomando los valores rec´ıprocos, se obtiene
1
1
≤ −1 ∨
≥ 1 ⇔ |cosecx| ≥ 1
senx
senx
y que:

3.4.

1
1
≤ −1 ∨
≥ 1 ⇔ |secx| ≥ 1
cosx
cosx

Signos

Seg´
un el cuadrante donde cae el ´angulo x en cuesti´on , de las definiciones se tiene

3.5.

sen x y cosec x

cos x y sec x

tg x y cotg x

+ +
- -

- +

- +

- +

+

-

Periodicidad

Se dice que una funci´on f (x) tiene per´ıodo T, T...