Funciones varias variables

Capítulo 1

Funciones de varias variables
Problema 1 Sea f : IR2 −→ IR definida por:  2 2  x −y x+y − 1 e f (x, y) =  2x

x > −y, x ≤ −y.

(i) Estudiar la continuidad de f en IR2 . (ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f (x, 1). Analizar la derivabilidad de g en IR y, en su caso, calcular g . • Solución: (i) f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : x = −y} por ser composición de funcioneselementales. Falta examinar que ocurre en puntos de la recta x = −y, es decir, (a, −a), a ∈ IR. Para el cálculo de l´ ım f (x, y) tenemos que distinguir dos regiones, ya que la función
(x,y)→(a,−a)

está definida a trozos. l´ ım
(x,y)→(a,−a) x>−y

x2 − y 2 = ex+y − 1 2x = 2a.

l´ ım
(x,y)→(a,−a) x>−y

(x − y)

(x + y) = 2a ex+y − 1

l´ ım
(x,y)→(a,−a) x≤−y

Por tanto, el límiteexiste y vale 2a = f (a, −a), es decir, f es continua en estos puntos. (ii) La función g está definida como x2 − 1 ex+1 − 1 g(x) = f (x, 1) =  2x   1 x > −1, x ≤ −1.

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Problemas

Por el apartado anterior sabemos que g es continua en IR. Además g es derivable en IR − {−1} por ser composición de funciones elementales que son derivables. Sólo falta por analizar qué ocurre con x = −1.Procedemos mediante la definición de derivada. l´ ım g(x) − g(−1) = ... x+1

x→−1

Para calcular este límite tenemos que calcular los límites laterales.

• l´ + ım
x→−1

ex+1

x2 − 1 +2 x2 − 3 + 2ex+1 2x + 2ex+1 −1 = l´ ım = l´ ım x+1 (x + 1) + (ex+1 − 1) x→−1+ (ex+1 − 1)(x + 1) x→−1+ e x+1 =
x→−1+

l´ ım

2 + 2ex+1 =2 ex+1 (x + 1) + 2ex+1

• l´ ım

x→−1−

2x + 2 = l´ ım 2 = 2. x+1x→−1−

En los cálculos anteriores se ha aplicado la regla de L’Hopital. Por tanto g es derivable en x = −1. Para finalizar calculamos g .  x+1 (2x − x2 + 1) − 2x  e (ex+1 − 1)2 g (x) =  2 x > −1, x ≤ −1.

Problema 2 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:  1  2 x cos +y x = 0, f (x, y) = x  y x = 0. •

Solución: La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2: (0, y)} por ser producto, cociente, suma y composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar los puntos de la forma (0, b) con b ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un entorno de estos puntos la función cambia de definición. l´ ım
(x,y)→(0,b)

x2 cos

1 x

+ y = [0 × acotada ] = b = f (0, b).

Por tanto, f también es continuaen los puntos (0, b).

Varias variables

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Problema 3 Estudiar de la continuidad de la función f : IR2 −→ IR definida por:  1  2 y = 0, y sin( ) + x f (x, y) = y  x y = 0. • Solución: La función f es continua en IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : (x, 0)} por ser producto, cociente, suma y composición de funciones elementales que lo son y no anularse el denominador. Falta estudiar los puntos de laforma (a, 0) con a ∈ IR. Para ello debemos calcular el límite ya que en un entorno de estos puntos la función cambia de definición. l´ ım
(x,y)→(a,0)

y 2 sin

1 y

+ x = [0 × acotada ] = a = f (a, 0).

Por tanto, f también es continua en los puntos (a, 0). Problema 4 Sea f : IR2 −→ IR definida por:    xy    1 + e − 1 (x2 + y 2 )    xy   2 1/|y| (1 + y ) f (x, y) =     (1 + x2)1/|x|       1 (i) Estudiar la continuidad de f en IR2 .
1 1 (ii) Definimos g : IR −→ IR como g(x) = f ( √2 x, √2 x) . Analizar la derivabilidad de g y, en su caso, calcular la ecuación de la recta tangente a g en el punto x = 0. |x|

1 x2 + y2 xy = 0, x = 0 e y = 0, y = 0 y x = 0, (x, y) = (0, 0).

• Solución: (i) f es continua en IR2 −{(x, y) ∈ IR2 : xy = 0} por ser composición defunciones elementales. Falta examinar qué ocurre en puntos de las rectas x = 0, es decir, (0, a), a ∈ IR e y = 0, es decir, (b, 0), b ∈ IR; y el límite en el punto (0, 0). Para el cálculo de l´ ım
(x,y)→(0,a)

f (x, y), a = 0 tenemos que distinguir dos regiones, ya que la 1

función está definida a trozos. l´ ım
(x,y)→(0,a) x=0

exy − 1 2 1+ (x + y 2 ) xy

x2 + y 2 =∗ (1 + a2 )1/|a|

l´ ım...